Промежутки монотонности и экстремумы функции

Монотонность и экстремумы

Промежутки монотонности — это интервалы, на которых функция ведёт себя однообразно: только возрастает или только убывает. Точки экстремума — точки, в которых возрастание сменяется убыванием (тогда это точка максимума) или убывание сменяется возрастанием (точка минимума). Эти понятия лежат в основе исследования функций, и для их поиска применяют производную — главный инструмент дифференциального исчисления.

Геометрически возрастанию соответствует «подъём» графика слева направо, а убыванию — «спуск». В точке максимума график достигает локальной вершины, в точке минимума — локальной впадины. Производная позволяет находить всё это строго, без приближённого построения графика.

Связь со знаком производной

Если на некотором промежутке f'(x) > 0, то функция на нём возрастает; если же f'(x) < 0 — функция убывает. Точки, в которых производная равна нулю или вовсе не существует, называют критическими. Именно среди критических точек и нужно искать экстремумы — в других местах их быть не может.

Признак экстремума

Само по себе равенство производной нулю ещё не гарантирует экстремум. Решающим является именно изменение знака производной при переходе через критическую точку.

Если при переходе через критическую точку f'(x) меняет знак с + на -, это максимум.
Если знак меняется с - на +, это минимум.
Если знак не меняется — экстремума нет.

Разбор примера

Исследуем функцию f(x) = x³ - 3x на монотонность и экстремумы. Сначала находим производную, затем её нули и расставляем знаки на промежутках.

f'(x) = 3x² - 3 = 3(x-1)(x+1).
Критические точки: x = -1 и x = 1.
На (-∞;-1) производная +, на (-1;1) производная -, на (1;+∞) производная +.
Значит, x = -1 — точка максимума, а x = 1 — точка минимума.

На практике результаты исследования удобно оформлять в виде схемы знаков производной с отмеченными критическими точками и стрелками, показывающими возрастание и убывание. По такой схеме сразу видно общее поведение функции и легко не запутаться в чередовании промежутков. Этот же подход применяют при построении графика и при поиске наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.

Частые ошибки. Считают точкой экстремума любую точку, где f'(x) = 0, не проверив смену знака; но без смены знака экстремума нет. Забывают про точки, где производная не существует, — они тоже критические. Путают понятия «точка экстремума» (это значение x) и «экстремум» (это значение функции в этой точке).

Кратко о главном

• Знак производной указывает на возрастание или убывание функции.
• Критические точки — там, где f'(x) = 0 или производная не существует.
• Экстремум есть только при смене знака производной.
• Смена с плюса на минус даёт максимум, с минуса на плюс — минимум.
• Без смены знака экстремума в точке нет.