Графики тригонометрических функций

Графики тригонометрических функций

График тригонометрической функции наглядно показывает, как меняется значение синуса, косинуса, тангенса или котангенса при изменении угла. Умение представлять график мысленно очень полезно: по нему сразу видно область значений, период, чётность, нули функции и промежутки, на которых она возрастает или убывает. Поэтому графики — это удобный язык для описания свойств тригонометрических функций.

Все четыре функции периодичны, а значит, их графики повторяются. Достаточно изучить один период, и остальная картина получается простым сдвигом вдоль оси углов.

Синусоида и косинусоида

График функции y = sin x называют синусоидой. Это плавная волна, которая колеблется между значениями -1 и 1 и повторяется с периодом 2π. Функция проходит через начало координат, поднимается до максимума, опускается до минимума и возвращается обратно. График y = cos x имеет точно такую же форму, но сдвинут влево на π/2: справедливо тождество cos x = sin(x + π/2). Поэтому косинусоиду часто называют сдвинутой синусоидой.

Тангенс и котангенс

График y = tg x устроен иначе: он состоит из отдельных возрастающих ветвей и имеет период π. В точках x = π/2 + πn функция не определена, и там проходят вертикальные асимптоты — прямые, к которым график неограниченно приближается, но никогда их не пересекает. Область значений тангенса — все действительные числа. График котангенса похож, но его ветви убывают, а асимптоты проходят в точках x = πn.

Опорные точки

Чтобы быстро и без ошибок построить синусоиду, достаточно отметить ключевые точки одного периода, а затем соединить их плавной линией. Эти же точки помогают проверить уже построенный график.

x = 0 → sin x = 0
x = π/2 → sin x = 1 (максимум)
x = π → sin x = 0
x = 3π/2 → sin x = -1 (минимум)
x = 2π → sin x = 0

Частые ошибки. Путают период тангенса (π) и синуса (2π). Забывают изобразить асимптоты у тангенса, из-за чего график получается неверным. График косинуса нередко считают «сдвинутым вправо», хотя на самом деле он сдвинут влево относительно синуса. Ещё ошибаются с областью значений, выходя за границы отрезка от -1 до 1 для синуса и косинуса.

Кратко о главном

• График синуса — волна (синусоида) с периодом 2π и значениями от -1 до 1.
• Косинусоида — та же волна, сдвинутая влево на π/2.
• Тангенс и котангенс имеют период π и вертикальные асимптоты.
• Синус, тангенс и котангенс нечётны, косинус — чётный.
• Для построения удобно использовать опорные точки одного периода.