Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму

Преобразование произведения в сумму

В тригонометрии иногда произведение функций удобнее заменить суммой или разностью. Формулы преобразования произведения в сумму позволяют это сделать. Они нужны при упрощении громоздких выражений, при доказательстве тождеств, а особенно — при интегрировании, где сумму вычислять значительно проще, чем произведение. Эти формулы — «обратная сторона» формул преобразования суммы в произведение, и вместе они образуют пару взаимно обратных приёмов.

Смысл формул в том, что произведение двух тригонометрических функций всегда можно записать как полусумму или полуразность функций суммарного и разностного углов. Это снимает «нелинейность» произведения и делает дальнейшие действия проще.

Три основные формулы

Откуда они берутся

Все три формулы выводятся из формул сложения буквально в одно действие. Например, сложим косинус суммы и косинус разности двух углов — слагаемые с синусами взаимно уничтожатся, и останется удвоенное произведение косинусов.

cos(a+b) + cos(a-b) = 2·cos a·cos b.
Отсюда cos a·cos b = ½(cos(a+b) + cos(a-b)).

Точно так же, складывая или вычитая формулы синуса суммы и разности, получают остальные две формулы. Запоминать их выгоднее именно через этот вывод, а не зубрёжкой.

Разбор примера

Преобразуем произведение sin 5x · cos 3x в сумму, применив первую формулу таблицы.

sin 5x · cos 3x = ½(sin(5x+3x) + sin(5x-3x))
= ½(sin 8x + sin 2x).

Такое преобразование особенно полезно, когда дальше выражение нужно интегрировать: сумму синусов интегрировать просто, а исходное произведение напрямую — нет. Поэтому приём широко применяют в старших классах и в начале изучения интегралов.

Полезно научиться выполнять преобразование в обе стороны: и из произведения в сумму, и из суммы в произведение. Тогда в каждой конкретной задаче можно выбирать ту форму записи, которая ведёт к цели быстрее. Например, при доказательстве тождеств одну часть равенства иногда удобно представить произведением, а другую — суммой, и затем привести их к общему виду.

Частые ошибки. Чаще всего забывают множитель ½ перед скобкой — это меняет ответ вдвое. В формуле для sin a · sin b путают порядок: там стоит именно cos(a-b) - cos(a+b), а не наоборот, и перестановка даёт ошибку в знаке. Ещё путают синус и косинус местами в смешанном произведении sin a · cos b.

Кратко о главном

• Произведение функций можно заменить полусуммой или полуразностью.
• Есть три формулы — для sin·cos, cos·cos и sin·sin.
• Все они выводятся из формул сложения в одно действие.
• Перед скобкой всегда стоит множитель ½.
• Приём упрощает интегрирование и доказательство тождеств.