Бином Ньютона и треугольник Паскаля

Бином Ньютона

Бином Ньютона — это формула, позволяющая возвести сумму двух слагаемых в любую натуральную степень без последовательного перемножения скобок. Она обобщает знакомые формулы квадрата суммы (a + b)² и куба суммы (a + b)³ на произвольный показатель и тесно связана с комбинаторикой.

Формула разложения

Для любого натурального n верно:

(a + b)ⁿ = C(n,0)aⁿ + C(n,1)aⁿ⁻¹b + ... + C(n,k)aⁿ⁻ᵏbᵏ + ... + C(n,n)bⁿ

Числа C(n,k) называют биномиальными коэффициентами; они равны числу сочетаний из n по k и вычисляются по формуле C(n,k) = n! / (k!(n-k)!). В разложении ровно n + 1 слагаемое. В каждом члене сумма показателей степеней a и b равна n: показатель при a убывает от n до нуля, а показатель при b одновременно растёт от нуля до n.

Свойства биномиальных коэффициентов

Биномиальные коэффициенты обладают полезной симметрией: C(n,k) = C(n,n-k), поэтому коэффициенты в разложении читаются одинаково с начала и с конца. Их сумма во всей строке равна 2ⁿ.

Треугольник Паскаля

Биномиальные коэффициенты удобно находить с помощью треугольника Паскаля: по краям каждой строки стоят единицы, а каждое внутреннее число равно сумме двух чисел, стоящих над ним в предыдущей строке.

Разобранный пример

Раскроем (a + b)⁴, взяв коэффициенты из строки n = 4:

(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

Чтобы найти отдельный член разложения, не выписывая всё целиком, применяют формулу общего члена: член под номером k + 1 равен C(n,k)aⁿ⁻ᵏbᵏ. Например, третий член разложения (a + b)⁴ отвечает k = 2 и равен C(4,2)a²b² = 6a²b².

Разложение разности и подстановки

Чтобы раскрыть разность (a - b)ⁿ, достаточно в формуле бинома заменить b на -b. Тогда члены с нечётным показателем при b получат знак «минус», и знаки в разложении начнут чередоваться. Например, (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³. Точно так же на места a и b можно подставлять не только буквы, но и числа или одночлены. Скажем, чтобы возвести (2x + 1)³, берём a = 2x, b = 1 и получаем 8x³ + 12x² + 6x + 1. Важно при этом возводить в степень и числовые множители, а не только переменную.

Частые ошибки. Нумерация членов начинается с нуля: первый член отвечает значению k = 0. При возведении в степень разности (a - b)ⁿ знаки слагаемых чередуются. Не забывайте возводить в степень и числовые множители самих слагаемых, а не только буквы.

Кратко о главном

• Бином Ньютона раскрывает (a + b)ⁿ через биномиальные коэффициенты.
• В разложении n + 1 член, сумма показателей в каждом равна n.
• Коэффициенты — это числа сочетаний C(n,k), их даёт треугольник Паскаля.
• Общий член: C(n,k)aⁿ⁻ᵏbᵏ при нумерации с нуля.