Однородные тригонометрические уравнения

Однородные тригонометрические уравнения

Однородное тригонометрическое уравнение — это уравнение, все слагаемые которого имеют одну и ту же суммарную степень синуса и косинуса. Простейший вид первой степени: a·sin x + b·cos x = 0. Вид второй степени: a·sin²x + b·sin x·cos x + c·cos²x = 0. Слово «однородное» как раз и означает, что степень одинакова во всех слагаемых: в первом случае она равна единице, во втором — двум.

Такие уравнения встречаются очень часто, и важно научиться распознавать их по внешнему виду. Если перед вами сумма произведений синусов и косинусов одинаковой степени, приравненная к нулю, — это сигнал, что нужно применять специальный приём.

Главная идея решения

Однородные уравнения решают делением на старшую степень косинуса. После деления каждое слагаемое с косинусом превращается в единицу, а каждое слагаемое с синусом — в тангенс. В итоге уравнение становится алгебраическим относительно tg x. Делить на косинус законно, потому что cos x = 0 не может быть корнем: если бы косинус обратился в нуль, то из уравнения следовало бы, что и синус равен нулю, а одновременно это невозможно по основному тождеству.

Однородное уравнение первой степени

Разделим обе части уравнения a·sin x + b·cos x = 0 на cos x и получим линейное уравнение относительно тангенса.

a·tg x + b = 0 → tg x = -b/a.

Однородное уравнение второй степени

Здесь делят все слагаемые на cos²x и вводят замену t = tg x, сводя задачу к обычному квадратному уравнению.

2sin²x - 3sin x·cos x + cos²x = 0 | : cos²x
2tg²x - 3tg x + 1 = 0
Пусть t = tg x: 2t² - 3t + 1 = 0 → t = 1 или t = 1/2.
tg x = 1 → x = π/4 + πn; tg x = 1/2 → x = arctg(1/2) + πn.

Удобство метода в том, что после деления тригонометрия полностью исчезает: остаётся обычное уравнение относительно тангенса, которое решается стандартными приёмами. Когда тангенс найден, остаётся записать простейшие уравнения вида tg x = c и выписать их решения с периодом πn. Поэтому весь приём можно представить как «перевод» сложного тригонометрического уравнения на привычный алгебраический язык и обратно.

Частые ошибки. Если уравнение второй степени записано не в однородном виде (например, справа стоит число, а не нуль), то свободный член нужно умножить на 1 = sin²x + cos²x, иначе деление испортит уравнение. Иногда делят на косинус, не убедившись, что он действительно не равен нулю. Часто теряют решения, забывая выполнить обратную замену и записывая в ответ значение t вместо x.

Кратко о главном

• В однородном уравнении все слагаемые имеют одинаковую степень.
• Уравнение первой степени делят на cos x, второй — на cos²x.
• После деления получают уравнение относительно tg x.
• Замена t = tg x сводит задачу к алгебраической.
• Деление законно, так как cos x = 0 не даёт корней.