Обратные тригонометрические функции

Зачем нужны обратные тригонометрические функции

Тригонометрические функции не имеют обратных на всей области определения, потому что они периодичны и одно значение принимают многократно. Чтобы получить однозначную обратную функцию, область сужают до промежутка, где функция монотонна. Так появляются обратные тригонометрические функции: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс.

Арксинус и арккосинус

Арксинусом числа a (где -1 <= a <= 1) называют угол из отрезка [-pi/2; pi/2], синус которого равен a. Арккосинусом числа a называют угол из отрезка [0; pi], косинус которого равен a.

Арктангенс и арккотангенс

Арктангенсом числа a называют угол из интервала (-pi/2; pi/2), тангенс которого равен a. Арккотангенсом называют угол из интервала (0; pi), котангенс которого равен a. Эти функции определены для любого числа a.

Графики обратных тригонометрических функций получаются из графиков соответствующих тригонометрических функций отражением относительно прямой y = x на выбранном промежутке. Поэтому, например, график арксинуса возрастает, а график арккосинуса убывает.

Полезные значения и тождества

• arcsin 0 = 0, arccos 1 = 0, arctg 0 = 0.
• arcsin (1/2) = pi/6, arccos (1/2) = pi/3.
• arcsin a + arccos a = pi/2 для всех допустимых a.
• Арксинус и арктангенс — нечётные функции: arcsin (-a) = -arcsin a.

Разобранный пример

Вычислим arccos (-1/2).
Нужен угол из отрезка [0; pi], косинус которого равен -1/2.
Такому условию отвечает угол 2pi/3, так как cos (2pi/3) = -1/2.
Значит arccos (-1/2) = 2pi/3.
Проверка: полученный угол действительно лежит в отрезке [0; pi].

Обратные тригонометрические функции применяют при решении тригонометрических уравнений: именно через них записывают общий вид корней уравнений вида sin x = a или tg x = a. Например, корни простейшего уравнения cos x = a при |a| <= 1 записывают как x = +-arccos a + 2pi*k, где k — целое число. Без арккосинуса записать ответ в общем виде было бы невозможно.

Свойства чётности тоже полезны на практике: арккосинус и арккотангенс — функции ни чётные, ни нечётные, тогда как арксинус и арктангенс нечётны. Это помогает быстро находить значения от отрицательных аргументов, не обращаясь каждый раз к определению.

Частые ошибки. Значение обратной функции всегда лежит в своём промежутке, выходить за него нельзя. Арккосинус отрицательного числа даёт тупой угол, а не отрицательный. Нельзя писать арксинус числа, большего единицы по модулю — такого значения не существует.

Кратко о главном

• Обратные тригонометрические функции восстанавливают угол по значению функции.
• Арксинус и арккосинус определены лишь на отрезке [-1; 1].
• Арктангенс и арккотангенс определены для любого числа.
• Полезно тождество arcsin a + arccos a = pi/2.