Алгебра

Алгебраические выражения

Переменные, числовые и буквенные выражения. Допустимые значения переменной.

Одночлены

Одночлен, коэффициент, степень одночлена. Умножение и деление одночленов.

Многочлены

Многочлен, стандартная форма, сложение и вычитание многочленов.

Умножение многочленов

Умножение многочлена на одночлен, умножение многочленов. Правило FOIL.

Формулы сокращённого умножения

Квадрат суммы и разности, разность квадратов, куб суммы и разности.

Разложение на множители

Вынесение общего множителя за скобку, группировка, применение ФСУ.

Линейные уравнения

Уравнение ax + b = 0, решение линейных уравнений с одной переменной.

Системы линейных уравнений

Методы решения: подстановка и сложение. Графический метод.

Линейные неравенства

Числовые промежутки, решение линейных неравенств, запись ответа.

Понятие функции

Функция и её график. Линейная функция y = kx + b, прямая пропорциональность.

Степень с натуральным показателем

Что такое степень числа, как читать запись с основанием и показателем и для чего нужна степень в алгебре.

Свойства степеней с натуральным показателем

Правила умножения, деления и возведения степени в степень — основа преобразований выражений со степенями.

Тождества и тождественные преобразования

Чем равенство отличается от тождества и как преобразовывать выражения, не меняя их значения.

Координатная плоскость

Оси координат, начало отсчёта и правило, по которому каждой точке плоскости соответствует пара чисел.

Линейная функция и её график

Формула линейной функции, смысл углового коэффициента и построение прямой по двум точкам.

Прямая пропорциональность

Частный случай линейной функции, график которой проходит через начало координат, и где он встречается.

Решение текстовых задач с помощью уравнений

Как составить уравнение по условию задачи, решить его и проверить ответ по смыслу задачи.

Куб суммы и куб разности

Формулы куба суммы и куба разности двух выражений: вывод, запоминание и применение для быстрого возведения в третью степень.

Сумма и разность кубов

Формулы разложения суммы и разности кубов на множители и их использование при упрощении выражений.

Вынесение общего множителя за скобки

Первый приём разложения многочлена на множители: как находить общий множитель и выносить его за скобки.

Способ группировки

Разложение многочлена на множители методом группировки слагаемых, когда нет единого общего множителя у всех членов.

Раскрытие скобок и приведение подобных

Правила раскрытия скобок со знаками плюс и минус, умножение на число и приведение подобных слагаемых.

Деление степеней с одинаковыми основаниями

Правило деления степеней с равными основаниями, нулевой показатель степени и условие применимости формулы.

Линейные уравнения с модулем

Понятие модуля числа и решение простейших линейных уравнений, содержащих знак абсолютной величины.

Взаимное расположение графиков линейных функций

Когда прямые параллельны, пересекаются или совпадают: связь между угловыми коэффициентами линейных функций.

Графический способ решения систем уравнений

Решение системы двух линейных уравнений с помощью построения графиков и определения точки пересечения прямых.

Степень произведения и степень частного

Возведение в степень произведения и дроби: вывод правил и их применение при упрощении буквенных выражений.

Рациональные дроби

Дробно-рациональные выражения, основное свойство дроби, сокращение.

Действия с рациональными дробями

Сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических дробей.

Квадратные корни

Понятие квадратного корня, арифметический корень, свойства корней.

Преобразования выражений с корнями

Вынесение множителя из-под корня, введение под корень, рационализация.

Квадратное уравнение

Полное и неполное квадратное уравнение. Дискриминант. Формула корней.

Теорема Виета

Связь корней квадратного уравнения с коэффициентами. Разложение на множители.

Квадратные неравенства

Решение квадратных неравенств через знак дискриминанта и параболу.

Квадратичная функция

График параболы, ось симметрии, вершина, направление ветвей.

Системы с квадратными уравнениями

Системы уравнений, одно из которых квадратное. Графический метод.

Степень с целым отрицательным показателем

Что такое степень с отрицательным показателем, как она связана с дробями и по каким правилам с ней работать.

Стандартный вид числа

Как записывать очень большие и очень малые числа в стандартном виде и зачем это нужно в науке и технике.

Неполные квадратные уравнения

Виды неполных квадратных уравнений и быстрые способы их решения без использования общей формулы корней.

Дробные рациональные уравнения

Как решать уравнения с переменной в знаменателе и почему обязательно проверять область допустимых значений.

Числовые неравенства и их свойства

Что означают знаки сравнения чисел и какие свойства неравенств позволяют преобразовывать их без ошибок.

Линейные неравенства с одной переменной

Как решать линейные неравенства, изображать ответ на числовой прямой и записывать его в виде промежутка.

Функция квадратного корня и её график

Свойства функции квадратного корня, форма её графика-ветви параболы и область определения функции.

Сокращение рациональных дробей

Как раскладывать числитель и знаменатель на множители и сокращать дробь, учитывая область допустимых значений.

Вынесение множителя из-под знака корня

Приём упрощения квадратных корней: выделение полного квадрата и вынесение множителя за знак радикала.

Освобождение от иррациональности в знаменателе

Как избавиться от корня в знаменателе дроби домножением на нужный множитель или на сопряжённое выражение.

Дискриминант и формула корней квадратного уравнения

Что такое дискриминант, как по его знаку определить число корней и найти их по общей формуле.

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Как разложить квадратный трёхчлен на линейные множители через его корни и применить это к дробям.

Решение задач с помощью квадратных уравнений

Как составлять и решать квадратные уравнения в задачах на движение, работу, площади и числа.

Метод интервалов

Универсальный способ решения квадратных и дробно-рациональных неравенств с помощью числовой прямой и знаков.

Числовые промежутки

Виды промежутков, их обозначение, изображение на координатной прямой и пересечение с объединением.

Приближённые вычисления и погрешность

Округление, абсолютная и относительная погрешность приближённого значения и оценка результата.

Функция обратной пропорциональности и её график

Функция вида игрек равен ка делить на икс, её свойства и график — гипербола в двух четвертях.

Степени с целым показателем

Степень с нулевым и отрицательным показателем, свойства степеней.

Квадратный трёхчлен

Разложение квадратного трёхчлена на множители, корни трёхчлена.

Числовые последовательности

Понятие последовательности, арифметическая прогрессия, сумма членов.

Геометрическая прогрессия

Знаменатель прогрессии, формула n-го члена, сумма n первых членов.

Степенная функция

y = x^n, y = x^(1/n). Область определения, свойства, графики.

Уравнения и неравенства с модулем

Определение модуля, решение уравнений и неравенств вида |f(x)| = a.

Вероятность

Случайные события, классическое определение вероятности, формулы.

Статистика

Генеральная совокупность, выборка, характеристики: среднее, дисперсия.

Арифметическая прогрессия

Последовательность с постоянной разностью: формула n-го члена и сумма первых членов.

Системы уравнений второй степени

Решение систем, где есть уравнение второй степени: способы подстановки и сложения.

Дробно-рациональные уравнения

Уравнения с переменной в знаменателе: общий знаменатель и область допустимых значений.

Неравенства второй степени с одной переменной

Решение квадратных неравенств через параболу и знаки на координатной прямой.

Метод интервалов

Универсальный способ решения рациональных неравенств с помощью числовой прямой.

Область определения функции

Множество допустимых значений аргумента: дроби, корни и их сочетания.

Функция «квадратный корень» и преобразования графиков

График функции корня и сдвиги графиков вдоль осей координат.

Сумма n первых членов арифметической прогрессии

Как вывести и применять формулу суммы первых членов арифметической прогрессии при решении задач.

Сумма n первых членов геометрической прогрессии

Формула суммы первых членов геометрической прогрессии, её вывод и применение в задачах.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Понятие бесконечно убывающей геометрической прогрессии и формула суммы всех её членов.

Квадратичная функция и её график

Свойства квадратичной функции, координаты вершины параболы и построение её графика.

Свойства функций: возрастание, убывание, чётность

Основные свойства числовых функций: монотонность, чётность и нечётность, нули функции.

Целые уравнения и их корни

Целые уравнения, степень уравнения и способы их решения, включая разложение на множители.

Графический способ решения систем уравнений

Решение систем уравнений построением графиков и определение числа решений по их расположению.

Комбинаторика: перестановки, размещения, сочетания

Правило умножения и формулы перестановок, размещений и сочетаний при подсчёте вариантов.

Нули функции и промежутки знакопостоянства

Как находить нули функции и определять промежутки, где функция положительна или отрицательна.

Решение неравенств методом замены переменной

Приём введения новой переменной для сведения сложных неравенств к неравенствам второй степени.

Тригонометрические функции

Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определение через единичную окружность.

Тригонометрические формулы

Основное тригонометрическое тождество, формулы сложения, двойного угла.

Тригонометрические уравнения

Простейшие тригонометрические уравнения, обратные тригонометрические функции.

Показательная функция

y = a^x, свойства, график, область определения и значений.

Логарифмы

Определение логарифма, свойства логарифмов, формула перехода.

Логарифмическая функция

y = log_a(x), свойства, график, область определения.

Показательные и логарифмические уравнения

Методы решения: потенцирование, введение замены, графический метод.

Комбинаторика

Перестановки, сочетания, размещения. Формулы и задачи.

Числовая последовательность и её свойства

Что такое числовая последовательность, способы её задания, монотонность и ограниченность.

Предел числовой последовательности

Понятие предела последовательности, основные теоремы о пределах и сумма бесконечной геометрической прогрессии.

Производная функции: определение и смысл

Определение производной через предел, её геометрический и физический смысл, уравнение касательной.

Правила дифференцирования

Производные суммы, произведения, частного и сложной функции, таблица производных основных функций.

Применение производной к исследованию функций

Как с помощью производной находить промежутки монотонности, экстремумы и строить график функции.

Корень n-й степени и степень с рациональным показателем

Арифметический корень n-й степени, его свойства и переход к степени с рациональным показателем.

Обратные тригонометрические функции

Функции арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс, их области значений и основные свойства.

Радианная мера угла

Что такое радиан, как переводить градусы в радианы и обратно, длина дуги и площадь сектора через радианную меру.

Формулы приведения

Как сводить тригонометрические функции углов вида 90°±α и 180°±α к функциям острого угла по простому правилу.

Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение

Формулы суммы и разности синусов и косинусов и их применение для упрощения выражений и решения уравнений.

Метод вспомогательного угла

Как преобразовать выражение a·sin x + b·cos x к одному синусу и решать такие уравнения и находить наибольшее значение.

Свойства логарифмов и переход к новому основанию

Логарифм произведения, частного, степени и формула перехода к новому основанию с разобранными примерами.

Показательные и логарифмические неравенства

Как решать неравенства с показательной и логарифмической функцией с учётом монотонности и области определения.

Обратная функция и её график

Что такое обратная функция, условие её существования и симметрия графиков относительно прямой y равно x.

Степенная функция и её свойства

Степенная функция с разными показателями: область определения, чётность, монотонность и поведение графика.

Бином Ньютона и треугольник Паскаля

Формула бинома Ньютона, биномиальные коэффициенты, треугольник Паскаля и нахождение конкретного члена разложения.

Уравнение касательной к графику функции

Геометрический смысл производной и вывод уравнения касательной к графику функции в заданной точке.

Предел функции

Понятие предела, односторонние пределы, бесконечно малые и большие.

Производная

Физический и геометрический смысл производной. Правила дифференцирования.

Таблица производных

Производные основных элементарных функций. Правило сложной функции.

Применение производной

Монотонность, экстремумы, выпуклость, точки перегиба. Наибольшее и наименьшее.

Первообразная и интеграл

Понятие первообразной, таблица первообразных, правила интегрирования.

Определённый интеграл

Формула Ньютона–Лейбница. Вычисление площади криволинейной трапеции.

Системы уравнений и неравенств

Сложные системы, метод замены переменной, решение с параметром.

Комплексные числа

Мнимая единица, форма записи, действия с комплексными числами.

Логарифмическая функция

Определение, свойства и график логарифмической функции, область определения и монотонность.

Логарифмические уравнения

Методы решения логарифмических уравнений: потенцирование, замена переменной, область допустимых значений.

Показательная функция и уравнения

Свойства показательной функции и приёмы решения показательных уравнений и неравенств.

Обратные тригонометрические функции

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс: определения, области значений и графики.

Тригонометрические уравнения

Простейшие тригонометрические уравнения и общие формулы корней для синуса, косинуса и тангенса.

Степенная функция и корень n-й степени

Корень n-й степени, степень с рациональным показателем и свойства степенной функции.

Площадь фигуры через интеграл

Вычисление площади криволинейной трапеции и фигур между графиками с помощью определённого интеграла.

Производная сложной функции

Правило дифференцирования композиции функций и разбор примеров с цепочкой вложений.

Уравнение касательной к графику функции

Как составить уравнение касательной в точке через значение функции и производной.

Возрастание, убывание и экстремумы функции

Исследование монотонности и точек максимума и минимума функции с помощью производной.

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на отрезке.

Вторая производная, выпуклость и точки перегиба

Как по второй производной определить выпуклость графика и найти точки перегиба.

Полное исследование функции и построение графика

Общая схема исследования функции и построения её графика по этой схеме.

Логарифмические неравенства

Методы решения логарифмических неравенств с учётом области допустимых значений.

Показательные неравенства

Решение показательных неравенств с опорой на монотонность показательной функции.

Тригонометрические неравенства

Решение простейших тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности.

Формула Ньютона — Лейбница

Связь определённого интеграла с первообразной и вычисление интегралов по этой формуле.