Формулы приведения

Что такое формулы приведения

Формулы приведения позволяют выразить тригонометрическую функцию любого угла вида 90° ± α, 180° ± α, 270° ± α или 360° ± α через функцию острого угла α. Это резко упрощает вычисления и решение уравнений: вместо громоздкого аргумента остаётся знакомая функция небольшого угла, значение которой часто можно найти по таблице.

Таких формул несколько десятков, поэтому заучивать их все наизусть неразумно. Гораздо надёжнее пользоваться единым мнемоническим правилом, которое выводит нужную формулу за пару секунд.

Мнемоническое правило

Правило состоит из двух независимых шагов.

1. Меняется ли название функции. Если в аргументе стоят 90° или 270° (то есть π/2 или 3π/2), функция меняется на сходную: синус на косинус и наоборот, тангенс на котангенс и наоборот. Если же стоят 180° или 360° (π или 2π), название функции сохраняется.
2. Знак результата. Знак определяется по той четверти, в которой лежит угол всего выражения, если считать α острым положительным углом. Берётся тот знак, который имеет исходная функция в этой четверти.

Полезно держать в голове знаки функций по четвертям: синус положителен в первой и второй четвертях, косинус — в первой и четвёртой, тангенс — в первой и третьей. Удобная подсказка для названия функции: представьте, поворачивается ли ось при переходе через указанный угол. При 90° и 270° вертикальная и горизонтальная оси как бы меняются местами, поэтому синус и косинус тоже меняются ролями; при 180° и 360° оси остаются на своих местах, и название сохраняется.

Связь с чётностью

Частный случай формул приведения — функции отрицательного угла: cos(-α) = cos α (косинус чётный), sin(-α) = -sin α и tg(-α) = -tg α (синус и тангенс нечётные). Эти равенства тоже укладываются в общую логику работы со знаками по четвертям.

Разобранный пример

Упростим cos(180° - α). Угол 180° — значит, название функции не меняется. Угол 180° - α лежит во второй четверти, где косинус отрицателен. Получаем:

cos(180° - α) = -cos α

Найдём sin 150°: представим 150° как 180° - 30°. Тогда sin(180° - 30°) = sin 30° = 0,5. Ещё пример: cos 240° = cos(180° + 60°) = -cos 60° = -0,5. Разберём случай со сменой названия: cos(90° + 30°). Угол 90° требует замены косинуса на синус, а сам угол 120° лежит во второй четверти, где косинус отрицателен. Значит, cos(90° + 30°) = -sin 30° = -0,5. Формулы приведения особенно полезны при решении тригонометрических уравнений, когда под знаком функции стоит сложный аргумент: приведя его к острому углу, мы возвращаемся к табличному значению.

Частые ошибки. При аргументах 90° и 270° обязательно меняйте название функции — это забывают чаще всего. Знак определяйте по четверти всего выражения, а не отдельного α. И помните, что α в правиле считается острым углом, даже если в конкретной задаче угол другой.

Кратко о главном

• Формулы приведения сводят функцию большого угла к функции острого.
• При 90° и 270° функция меняется на сходную, при 180° и 360° — сохраняется.
• Знак берётся по четверти исходной функции.
• Правило заменяет заучивание всех формул наизусть.