Формулы половинного угла

Формулы половинного угла

Формулы половинного угла позволяют выразить синус, косинус и тангенс угла α/2 через функции угла α. Они тесно связаны с формулами понижения степени и широко применяются для упрощения выражений, интегрирования и решения уравнений, в которых встречаются квадраты синуса и косинуса.

Формулы понижения степени

Из формул двойного угла для косинуса легко получить выражения квадратов через косинус удвоенного угла. Возьмём формы cos 2α = 1 − 2 sin²α и cos 2α = 2 cos²α − 1 и выразим из них квадраты:

• sin²α = (1 − cos 2α) / 2
• cos²α = (1 + cos 2α) / 2

Эти равенства называют формулами понижения степени, потому что они заменяют вторую степень функции на первую степень косинуса удвоенного угла. Это удобно, ведь с первой степенью работать проще.

Переход к половинному углу

Если в формулах понижения степени заменить α на α/2, мы перейдём к формулам половинного угла. Сведём их в таблицу.

Выбор знака при извлечении корня

Чтобы найти сам синус или косинус половинного угла, нужно извлечь квадратный корень. При этом появляется знак ±, который определяют по той четверти, где лежит угол α/2, а не сам угол α. Это ключевой момент, который чаще всего вызывает ошибки.

Разобранный пример

Найдём cos²(α/2) и sin²(α/2), если cos α = 1/3.

Заметим, что сумма полученных значений равна 2/3 + 1/3 = 1, что согласуется с основным тождеством для угла α/2.

Частые ошибки. Знак корня выбирается по четверти угла α/2, а не α — это самая распространённая ошибка. Также не путайте формулы понижения степени с формулами двойного угла, хотя они и выведены друг из друга. И помните, что формула для тангенса половинного угла требует sin α ≠ 0.

Где применяются

Формулы половинного угла нужны при интегрировании выражений с квадратами функций, при приведении к удобному виду в уравнениях и при доказательстве тождеств. В старших классах они становятся одним из базовых инструментов. Перечислим типичные ситуации применения:

• избавление от квадрата функции при вычислении интегралов;
• выражение значений функций углов вроде 15° или 22,5° через известные значения;
• преобразование тригонометрических уравнений к более простому виду.

Универсальная подстановка

На основе тангенса половинного угла строится так называемая универсальная тригонометрическая подстановка. Если обозначить t = tg(α/2), то синус и косинус выражаются рационально через t: sin α = 2t/(1 + t²) и cos α = (1 − t²)/(1 + t²). Эта подстановка позволяет свести многие тригонометрические уравнения к алгебраическим относительно одной переменной t.

Кратко о главном

• Понижение степени: sin²α = (1 − cos 2α)/2, cos²α = (1 + cos 2α)/2.
• Половинный угол выражается через косинус целого угла.
• Знак корня выбирают по четверти угла α/2.
• Формулы помогают упрощать выражения с квадратами функций.
• Они выводятся из формул двойного угла и не требуют отдельного заучивания.