Основное тригонометрическое тождество

Основное тригонометрическое тождество

Основное тригонометрическое тождество связывает синус и косинус одного и того же угла: sin²α + cos²α = 1. Оно справедливо для любого угла α без исключений и является фундаментом всех тригонометрических преобразований. С его помощью по одной известной функции находят другую, упрощают выражения и доказывают новые формулы.

Откуда оно следует

Точка на числовой окружности, соответствующая углу α, имеет координаты (cos α; sin α). Поскольку радиус окружности равен единице, расстояние от центра до этой точки тоже равно 1. По теореме Пифагора квадрат расстояния равен сумме квадратов координат. Отсюда сразу получаем cos²α + sin²α = 1. Это наглядный геометрический вывод, который не требует запоминания: достаточно помнить про единичный радиус.

Следствия тождества

Разделив обе части равенства на cos²α или на sin²α, получаем ещё два полезных тождества — для тангенса и котангенса. Они часто применяются, когда в задаче фигурирует тангенс.

Как применять тождество

Чаще всего тождество используют в двух направлениях. Во-первых, чтобы выразить одну функцию через другую: sin²α = 1 − cos²α и наоборот. Во-вторых, чтобы заменять единицу на сумму квадратов при упрощении сложных выражений. Перечислим типичные приёмы:

• замена 1 на sin²α + cos²α для разложения на множители;
• выражение неизвестной функции с последующим выбором знака по четверти;
• сокращение дробей, где встречается 1 − sin²α или 1 − cos²α;
• доказательство более сложных тождеств путём сведения обеих частей к одному виду.

Важно понимать, что тождество — это равенство, верное при всех допустимых значениях переменной, а не уравнение, которое нужно решать. Поэтому его можно свободно подставлять в любое место выражения, не опасаясь потерять или приобрести посторонние значения.

Разобранный пример

Известно, что sin α = 3/5, причём α — угол второй четверти. Найдём cos α и tg α.

Частые ошибки. При извлечении квадратного корня появляются два знака — не забывайте выбрать нужный по четверти угла. Также не путайте sin²α (это (sin α)²) с синусом квадрата угла sin(α²) — это совершенно разные выражения. И помните, что тождество с тангенсом теряет смысл при cos α = 0.

Кратко о главном

• Главное тождество: sin²α + cos²α = 1 для любого угла.
• Оно следует из теоремы Пифагора на единичной окружности.
• Из него выводятся формулы с тангенсом и котангенсом.
• При нахождении функции через корень учитывайте знак по четверти.
• Тождество позволяет упрощать выражения, заменяя единицу суммой квадратов.