Десятичные и натуральные логарифмы

Десятичные и натуральные логарифмы

Среди всех логарифмов особо выделяют два: с основанием 10 и с основанием e. Для них приняты специальные обозначения, потому что именно они чаще всего встречаются в науке, технике и инженерных расчётах. Понимание этих двух видов логарифмов необходимо для дальнейшего изучения показательных и логарифмических функций.

Десятичный логарифм

Десятичный логарифм — это логарифм по основанию 10. Его записывают как lg x вместо громоздкого log_10 x. По определению lg x — это показатель степени, в которую нужно возвести число 10, чтобы получить x. Например, lg 100 = 2, потому что 10² = 100, и lg 1000 = 3, потому что 10³ = 1000. Десятичные логарифмы удобны для работы с очень большими и очень малыми числами, при измерении уровня звука в децибелах и кислотности раствора.

Натуральный логарифм

Натуральный логарифм — это логарифм по основанию e, где e ≈ 2,718 — особая математическая постоянная. Его обозначают ln x вместо log_e x. Натуральные логарифмы естественно возникают в задачах о росте и убывании, в математическом анализе и физике, поскольку именно основание e делает формулы производных наиболее простыми.

Связь между логарифмами

Любой логарифм можно перевести в другой по формуле перехода к новому основанию. В частности, десятичный и натуральный логарифмы связаны так:

Эти соотношения важны, потому что на калькуляторах обычно есть лишь две кнопки — lg и ln, а логарифм по любому другому основанию приходится вычислять через них.

Основные свойства

Десятичный и натуральный логарифмы подчиняются тем же общим свойствам, что и логарифм по любому основанию:

• lg(ab) = lg a + lg b — логарифм произведения;
• ln(a/b) = ln a − ln b — логарифм частного;
• lg(a^n) = n · lg a — логарифм степени.

Разобранный пример

Вычислим lg 0,001 и ln 1.

Частые ошибки. Не путайте обозначения: lg — это всегда основание 10, а ln — всегда основание e. Также помните, что логарифм определён только для положительных чисел: выражения lg(−5) и ln 0 не имеют смысла.

Кратко о главном

• Десятичный логарифм lg x — это логарифм по основанию 10.
• Натуральный логарифм ln x — это логарифм по основанию e ≈ 2,718.
• Между ними есть связь через формулу перехода к новому основанию.
• Оба подчиняются общим свойствам логарифмов.
• Аргумент любого логарифма должен быть положительным.