Обратная функция и её график

Что такое обратная функция

Обратная функция «отменяет» действие исходной: если функция f переводит число x в число y, то обратная функция, обозначаемая f⁻¹, переводит y обратно в x. При этом область значений исходной функции становится областью определения обратной, и наоборот — области определения и значений как бы меняются ролями.

Простой бытовой образ: если одно действие переводит градусы в радианы, то обратное переводит радианы обратно в градусы. Применив сначала функцию, а затем обратную к ней, мы возвращаемся к исходному числу.

Когда обратная функция существует

Обратная функция есть не у всякой функции, а только у обратимой — такой, которая каждое своё значение принимает ровно один раз. Если же одно и то же значение функция принимает при разных аргументах, то по значению невозможно однозначно восстановить аргумент, и обратной функции не существует. Достаточное условие обратимости — строгая монотонность: если функция на промежутке только возрастает или только убывает, то у неё есть обратная функция, и она тоже монотонна.

Показательная и логарифмическая функции взаимно обратны, как и возведение в степень и извлечение корня. Обратные тригонометрические функции тоже вводятся как обратные к синусу, косинусу и тангенсу на промежутках их монотонности — это важные примеры из курса 10 класса.

График обратной функции

Графики функции и обратной к ней симметричны относительно прямой y = x. Это удобный способ построить график обратной функции, не выписывая её формулу: достаточно отразить исходный график относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов. Точка (a; b) на графике исходной функции переходит в точку (b; a) на графике обратной.

Как найти формулу: разобранный пример

Найдём функцию, обратную к y = 3x - 6. Выражаем x через y:

x = (y + 6)/3

Теперь меняем обозначения переменных местами, чтобы аргумент снова назывался x:

y = (x + 6)/3

Это и есть обратная функция. Проверка: если подставить в исходную функцию x = 4, получим y = 6; обратная функция от 6 даёт (6 + 6)/3 = 4 — вернулись к исходному числу.

Частые ошибки. Нельзя искать обратную функцию у немонотонной функции на всей области: например, у y = x² обратная существует только на промежутке, где функция монотонна, скажем при x ≥ 0. Не забывайте после выражения переменной поменять местами обозначения x и y.

Кратко о главном

• Обратная функция возвращает аргумент исходной функции.
• Существует у обратимых функций; строгая монотонность гарантирует обратимость.
• Графики функции и обратной симметричны относительно прямой y = x.
• Показательная и логарифмическая функции взаимно обратны.