Импликация и эквивалентность

Две логические операции

Кроме отрицания, конъюнкции и дизъюнкции в алгебре логики изучают ещё две операции — импликацию (логическое следование) и эквивалентность (логическую равнозначность). Они помогают записывать сложные высказывания вида «если…, то…» и «тогда и только тогда». Значения этих операций, как и любых других, удобно описывать таблицами истинности.

Напомним, что любое высказывание принимает одно из двух значений: истина 1 или ложь 0. Таблица истинности перечисляет все возможные сочетания значений исходных высказываний и показывает, каким будет результат операции в каждом случае.

Импликация (следование)

Импликация соответствует обороту «если A, то B» и обозначается стрелкой: A -> B. Высказывание A называют условием (посылкой), а B — следствием. Импликация ложна только в одном случае: когда условие истинно, а следствие ложно. Во всех остальных случаях она истинна.

Связку «из лжи следует что угодно» легко запомнить так: если условие не выполнено, обещание считается ненарушенным. Например, обещание «если завтра будет солнце, то пойдём гулять» нарушено лишь тогда, когда солнце есть, а на прогулку не пошли.

Эквивалентность (равнозначность)

Эквивалентность соответствует обороту «A тогда и только тогда, когда B» и обозначается двойной стрелкой. Она истинна, когда оба высказывания имеют одинаковые значения, и ложна, когда значения разные.

Разбор примера

Пусть A — «число делится на два», B — «число чётное». Эти высказывания всегда совпадают, поэтому их эквивалентность истинна для любого числа. А импликация «если идёт дождь, то на улице сыро» ложна лишь тогда, когда дождь идёт, а земля сухая, — во всех прочих случаях она истинна.

Импликацию и эквивалентность можно выразить через уже знакомые операции. Например, импликация A -> B равносильна выражению «не A или B»: достаточно сравнить их таблицы истинности, чтобы убедиться в совпадении. А эквивалентность истинна тогда, когда истинны сразу обе импликации — и A -> B, и B -> A. Эти связи показывают, что новые операции не добавляют принципиально иных возможностей, но делают запись сложных условий короче и понятнее, что особенно ценно при составлении логических выражений в программах.

Частая ошибка. Импликация несимметрична: A -> B и B -> A — это разные высказывания, их нельзя менять местами. Эквивалентность, наоборот, симметрична. Помни единственный ложный случай импликации: истинное условие и ложное следствие.

Кратко о главном

• Импликация A -> B — это «если A, то B», ложна только при истинном A и ложном B.
• Эквивалентность — это «тогда и только тогда», истинна при равных значениях A и B.
• Импликация несимметрична, эквивалентность симметрична.
• Обе операции расширяют запись сложных логических высказываний и описываются таблицами истинности.