Упрощение логических выражений
💻 Информатика · 8 класс
Что значит упростить логическое выражение
Упрощение логического выражения — это преобразование формулы к более короткому виду, который при любых значениях входящих переменных даёт тот же самый результат. Упрощение опирается на законы алгебры логики и позволяет уменьшить число операций, а значит, сделать выражение понятнее и удобнее для вычислений и построения схем.
Напомним основные операции алгебры логики: отрицание (НЕ), конъюнкция (логическое И) и дизъюнкция (логическое ИЛИ). Их записывают так: НЕ A, A И B, A ИЛИ B. Каждая переменная может принимать только два значения: истину (единицу) или ложь (ноль).
Законы, нужные для упрощения
| Закон | Запись |
|---|---|
| Идемпотентности | A И A = A, A ИЛИ A = A |
| Поглощения | A ИЛИ (A И B) = A |
| Исключённого третьего | A ИЛИ НЕ A = 1 |
| Противоречия | A И НЕ A = 0 |
| Распределительный | A И (B ИЛИ C) = (A И B) ИЛИ (A И C) |
| С константами | A И 1 = A, A ИЛИ 0 = A |
Порядок упрощения
Действовать удобно по плану. Сначала при необходимости раскрывают скобки или, наоборот, выносят общий множитель за скобку. Затем применяют законы поглощения, противоречия и исключённого третьего, чтобы избавиться от лишних слагаемых и множителей. В последнюю очередь убирают появившиеся константы по правилам с единицей и нулём. Важно помнить порядок выполнения операций: первым выполняется отрицание, затем конъюнкция, и лишь потом дизъюнкция.
Разобранный пример
Упростим выражение шаг за шагом, поясняя каждый переход применённым законом:
(A И B) ИЛИ (A И НЕ B)= A И (B ИЛИ НЕ B) // вынесли общий множитель A= A И 1 // по закону исключённого третьего= A // по закону с константой
Сложное выражение из четырёх операций свелось к единственной переменной A. Это значит, что значение всей исходной формулы полностью определяется значением переменной A, а переменная B на результат не влияет.
Проверка по таблице истинности
Правильность упрощения всегда можно проверить, составив таблицу истинности для исходного и для итогового выражений. Если в каждой строке таблицы значения совпадают, преобразование выполнено верно. Этот способ особенно полезен, когда не до конца уверен в применённом законе.
Частые ошибки: путать законы поглощения и противоречия, а также забывать про приоритет операций — отрицание выполняется первым, затем конъюнкция, и лишь потом дизъюнкция. Из-за неверного порядка операций можно получить совсем другую формулу.
Кратко о главном
- Упрощение сохраняет результат, но сокращает число операций.
- Опираемся на законы алгебры логики.
- Полезны законы поглощения, противоречия и исключённого третьего.
- Общий множитель можно выносить за скобку.
- Результат проверяют по таблице истинности.