Сравнение позиционных систем счисления

Позиционные системы счисления

В позиционной системе счисления значение цифры зависит от её места (позиции) в записи числа. Главная характеристика такой системы — основание, то есть количество используемых цифр. В информатике вместе встречаются четыре системы: двоичная, восьмеричная, десятичная и шестнадцатеричная. Их полезно сравнить, чтобы понимать, где какая удобнее.

Чем отличаются системы

В системе с основанием q используется ровно q цифр, а вес каждого разряда — это степень числа q.

Где какая применяется

Десятичная система привычна человеку. Двоичная — основа работы компьютера, ведь у электронного элемента два устойчивых состояния. Восьмеричная и шестнадцатеричная удобны как краткая запись двоичных чисел: одна восьмеричная цифра заменяет 3 двоичных, а одна шестнадцатеричная — сразу 4.

Разбор примера

Запишем число «двенадцать» в разных системах. В десятичной — 12. В двоичной — 1100. В восьмеричной — 14. В шестнадцатеричной — C (буква C обозначает 12). Само число одно и то же, меняется лишь форма записи.

Чем меньше основание, тем длиннее запись числа: двоичная запись самая длинная, шестнадцатеричная — самая короткая.

Частые ошибки. Не указывают основание и путают, в какой системе записано число (полезно писать индекс, например 1100_2). Используют в восьмеричной системе цифру 8 или 9, которых там нет. Забывают, что в шестнадцатеричной системе буквы A–F — это цифры со значениями от 10 до 15.

Связь восьмеричной и двоичной систем

Поскольку 8 = 2^3, каждая восьмеричная цифра ровно соответствует трём двоичным разрядам. Это позволяет переводить числа без вычислений: достаточно разбить двоичную запись на тройки справа налево и заменить каждую тройку одной восьмеричной цифрой. Аналогично, так как 16 = 2^4, одна шестнадцатеричная цифра соответствует четвёрке двоичных разрядов.

Почему компьютер использует двоичную систему

В электронной технике проще всего различать два состояния: есть ток или нет, заряжено или разряжено. Поэтому в основу работы компьютера положена двоичная система с двумя цифрами. А восьмеричную и шестнадцатеричную применяют люди, чтобы короче записывать длинные двоичные числа — например, при работе с цветами или адресами памяти.

Кратко о главном

• В позиционной системе значение цифры зависит от её позиции.
• Основание — количество используемых цифр.
• Двоичная — основа компьютера, десятичная — привычна человеку.
• Восьмеричная и шестнадцатеричная — краткая запись двоичных чисел.
• Чем меньше основание, тем длиннее запись одного и того же числа.