Перевод чисел между восьмеричной и двоичной системами

Что такое перевод через триады

Триада — это группа из трёх двоичных цифр. Восьмеричная система счисления устроена так, что каждой её цифре соответствует ровно одна триада двоичного кода. Это происходит потому, что число 8 равно 2^3, то есть тремя двоичными разрядами можно записать ровно восемь разных значений — от нуля до семи. Благодаря этому перевод между восьмеричной и двоичной системами выполняется без деления и умножения, просто заменой цифр на готовые группы. Такой способ называют переводом через промежуточную двоичную запись, и он гораздо быстрее, чем перевод сначала в десятичную систему, а затем обратно.

Восьмеричная система раньше широко применялась в вычислительной технике именно потому, что она компактнее двоичной, но при этом легко с ней связана. Длинную двоичную запись неудобно читать и записывать без ошибок, а восьмеричная сокращает её втрое. Понимание этой связи помогает осознать, почему программисты пользуются разными системами счисления.

Таблица соответствия

Чтобы переводить быстро, нужно запомнить, как каждая восьмеричная цифра записывается тремя двоичными разрядами. Эта таблица — основной инструмент, и её стоит выучить наизусть.

Из восьмеричной в двоичную

Правило простое: каждую восьмеричную цифру заменяем её триадой и записываем подряд. Важно, что у каждой цифры, кроме самой левой, триада записывается полностью, включая ведущие нули. Только у крайней левой группы ведущие нули можно отбросить, так как незначащие нули в начале числа на его величину не влияют.

Переведём число семь шесть два, то есть восьмеричное 762:

Проверим себя: каждую цифру мы заменили строго тремя разрядами, нигде нули внутри числа не потеряли. Итоговая двоичная запись содержит девять разрядов, что соответствует трём восьмеричным цифрам, умноженным на три.

Из двоичной в восьмеричную

Здесь действуем наоборот. Двоичную запись делим на триады справа налево. Если в самой левой группе не хватает цифр до трёх, дополняем её нулями слева. Затем каждую триаду заменяем восьмеричной цифрой по той же таблице.

Деление обязательно начинают от младшего разряда, то есть справа. Если начать слева, границы групп сместятся, и каждой триаде будут соответствовать неверные цифры. Это самая распространённая причина ошибок в таких заданиях.

Частые ошибки: деление на триады начинают слева, а не справа; внутри числа теряют ведущие нули триад, например пишут 11 вместо 011. Граница групп всегда отсчитывается от младшего разряда, а каждая внутренняя триада записывается полностью.

Кратко о главном

• Восьмеричная цифра соответствует триаде, потому что 8 = 2^3.
• Из восьмеричной в двоичную — заменяем каждую цифру триадой, сохраняя внутренние нули.
• Из двоичной в восьмеричную — делим на триады справа налево и дополняем нулями слева.
• Метод не требует деления, поэтому быстрее перевода через десятичную систему.