Логическое следование и равносильность выражений
💻 Информатика · 8 класс
Следование и равносильность
В алгебре логики важно понимать связь между высказываниями. Логическое следование означает, что из истинности одного высказывания всегда вытекает истинность другого. Равносильность — это случай, когда два выражения принимают одинаковые значения при любых значениях входящих в них переменных. Эти понятия помогают упрощать выражения, проверять правильность рассуждений и доказывать законы логики.
Высказывание — это утверждение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно. Связывая высказывания операциями И, ИЛИ, НЕ и импликацией, мы строим сложные выражения. Чтобы сравнивать такие выражения, удобно опираться на таблицы истинности, в которых перебираются все возможные наборы значений переменных.
Логическое следование
Говорят, что из выражения A следует выражение B, если не бывает случая, когда A истинно, а B ложно. Записывают это как импликацию A → B. Импликация ложна только в одном случае: когда условие истинно, а вывод ложен. Во всех остальных случаях она истинна, даже если условие ложно.
| A | B | A → B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Логическое следование часто встречается в рассуждениях. Например, «если идёт дождь, то асфальт мокрый» — это импликация. Она нарушится только тогда, когда дождь идёт, а асфальт сухой; во всех прочих ситуациях утверждение остаётся верным.
Равносильность выражений
Два выражения равносильны, если их таблицы истинности полностью совпадают. Обозначают это знаком = или ≡. Чтобы доказать равносильность, достаточно построить таблицы истинности обоих выражений и сравнить их итоговые столбцы во всех строках. Если значения совпали везде, выражения равносильны и одно можно заменять другим.
Проверим: НЕ(A И B) = (НЕ A) ИЛИ (НЕ B)
A=1, B=0:
левая: НЕ(1 И 0) = НЕ 0 = 1
правая: (НЕ 1) ИЛИ (НЕ 0) = 0 ИЛИ 1 = 1
A=1, B=1:
левая: НЕ(1 И 1) = НЕ 1 = 0
правая: 0 ИЛИ 0 = 0
Значения совпали — это закон де Моргана.Равносильности лежат в основе упрощения логических выражений. Зная их, можно заменять громоздкие формулы на короткие, не меняя их смысла. Поэтому важнейшие равносильности — законы де Моргана, поглощения и распределения — обычно заучивают.
Правило: чтобы проверить равносильность двух выражений, переберите все наборы значений переменных. Если итоговые столбцы совпали во всех строках без исключения — выражения равносильны. Достаточно одного несовпадения, чтобы равносильности не было.
Кратко о главном
- Следование
A → Bложно только когда A истинно, а B ложно. - Равносильные выражения имеют одинаковые таблицы истинности.
- Равносильность доказывают сравнением итоговых столбцов во всех строках.
- Законы де Моргана — пример важных равносильностей, используемых для упрощения.