Операция «стрелка Пирса»
💻 Информатика · 8 класс
Что такое стрелка Пирса
Стрелка Пирса — это логическая операция, которую также называют «ИЛИ-НЕ». Чтобы её вычислить, сначала находят логическое сложение (дизъюнкцию) двух высказываний, а затем отрицают полученный результат. Обозначают операцию стрелкой, направленной вниз: A ↓ B. Названа она в честь американского учёного Чарльза Пирса, который, как и Шеффер, открыл универсальную логическую операцию.
Выражение A ↓ B истинно только в одном-единственном случае — когда оба высказывания ложны. Если хотя бы одно из них истинно, результат становится ложным. Поэтому операцию удобно описывать словами «ни то, ни другое»: она верна, когда не выполнено ни первое, ни второе условие.
Таблица истинности
Построим таблицу для всех наборов и рядом покажем столбец дизъюнкции, чтобы увидеть связь между ними.
| A | B | A или B | A ↓ B (ИЛИ-НЕ) |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
Последний столбец — это инверсия столбца дизъюнкции: там, где было ноль, стало единицей, и наоборот. Единственная единица в результате стоит в самой первой строке, где обе переменные равны нулю.
Формула и универсальность
Стрелка Пирса связана с базовыми операциями такой формулой:
A ↓ B = НЕ (A или B)
Как и штрих Шеффера, стрелка Пирса является функционально полной операцией. Через неё одну можно выразить отрицание, конъюнкцию и дизъюнкцию — все базовые действия алгебры логики. Отрицание записывается особенно просто:
НЕ A = A ↓ A
Проверим на значениях: при A = 0 получаем 0 ↓ 0 = 1, а при A = 1 — 1 ↓ 1 = 0. Это полностью совпадает с таблицей отрицания. Дизъюнкцию получают, отрицая результат стрелки, а конъюнкцию собирают из стрелок над отрицаниями переменных. Так весь аппарат логики строится из одного действия.
Частые ошибки. Не путайте стрелку Пирса со штрихом Шеффера. У стрелки Пирса единица в результате только при двух нулях, а у штриха Шеффера ноль в результате только при двух единицах. Это два «зеркальных» друг другу действия. Ещё одна ошибка — принять стрелку вниз за обычную дизъюнкцию: знаки разные, и смысл противоположный.
Сравнение двух универсальных операций
Чтобы окончательно разложить всё по полочкам, сведём свойства обеих операций в одну таблицу.
| Свойство | Штрих Шеффера | Стрелка Пирса |
|---|---|---|
| Название | И-НЕ | ИЛИ-НЕ |
| Обозначение | A | B | A ↓ B |
| Особый случай | ложь при двух единицах | истина при двух нулях |
| Универсальность | да | да |
Обе операции одинаково ценны для техники: на элементах «ИЛИ-НЕ» тоже можно собрать любую логическую схему, используя единственный тип элемента.
Кратко о главном
- Стрелка Пирса — операция «ИЛИ-НЕ», обозначается
A ↓ B. - Результат истинен только при двух ложных переменных.
- Формула:
A ↓ B = НЕ (A или B). - Операция универсальна, отрицание равно
A ↓ A. - Стрелка Пирса и штрих Шеффера — зеркальные операции.
- На элементах «ИЛИ-НЕ» можно собрать любую схему.