Перевод чисел из двоичной системы в десятичную

Зачем переводить числа

Перевод из двоичной системы в десятичную — это нахождение привычного нам десятичного значения числа, записанного нулями и единицами. Компьютер хранит и обрабатывает данные в двоичном виде, потому что электронные схемы различают всего два состояния — «есть сигнал» и «нет сигнала». Человеку же удобнее работать с десятичными числами, поэтому такой перевод нужен постоянно: при программировании, при анализе кодов символов, при работе с цветом и звуком.

В основе перевода лежит понятие позиционной системы счисления: значение цифры зависит от её места (позиции) в записи числа. В двоичной системе основание равно 2, и каждая позиция соответствует своей степени двойки. В десятичной системе, к которой мы привыкли, основание равно 10, и позиции соответствуют степеням десятки.

Развёрнутая форма записи

Любое число можно записать в развёрнутой форме — как сумму произведений цифр на степени основания. Например, десятичное число 345 — это 3·100 + 4·10 + 5·1. Точно так же двоичное число раскладывается по степеням двойки. Самый правый разряд соответствует степени 2^0, следующий — 2^1, затем 2^2 и так далее.

Степени двойки

Чтобы быстро переводить числа, полезно помнить первые степени двойки. Они образуют ряд, в котором каждое число вдвое больше предыдущего:

Степень	2^0	2^1	2^2	2^3	2^4	2^5	2^6	2^7
Значение	1	2	4	8	16	32	64	128

Алгоритм перевода

1. Пронумеруй разряды справа налево, начиная с нуля.
2. Каждую цифру умножь на двойку в степени её номера.
3. Сложи все полученные произведения.
4. Полученная сумма и есть десятичное значение числа.

Разбор примера

Переведём двоичное число 101101 в десятичную систему. Запишем развёрнутую форму, расставив степени двойки над каждым разрядом:

101101_2 = 1·2^5 + 0·2^4 + 1·2^3 + 1·2^2 + 0·2^1 + 1·2^0

= 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 45

Значит, 101101_2 = 45_10. Нули в записи можно пропускать — они не добавляют к сумме ничего. Удобный приём: достаточно сложить значения тех разрядов, где стоят единицы.

Ещё пример — число 1110. Единицы стоят в разрядах 1, 2 и 3:

1110_2 = 2^3 + 2^2 + 2^1 = 8 + 4 + 2 = 14

Частая ошибка. Нумерацию разрядов всегда начинают с нуля и справа. Если начать слева или с единицы, степени двойки окажутся неверными, и результат будет испорчен. Проверяй себя: количество разрядов должно совпадать с числом слагаемых в развёрнутой форме.

Кратко о главном

• Двоичная система позиционная, её основание равно 2.
• Каждый разряд соответствует степени двойки; нумерация идёт справа налево от нуля.
• Число равно сумме произведений цифр на соответствующие степени двойки.
• Достаточно сложить значения тех разрядов, где стоят единицы.
• Нулевые разряды не влияют на сумму, их можно пропускать.