Позиционные и непозиционные системы счисления
💻 Информатика · 8 класс
Что такое система счисления
Система счисления — это способ записи чисел с помощью знаков-цифр и правил их использования. Одно и то же количество можно записать по-разному в зависимости от выбранной системы. Системы делятся на два больших вида: позиционные и непозиционные. Различаются они тем, влияет ли место цифры в записи на её значение.
Знать оба вида важно: позиционные системы лежат в основе работы компьютера, а непозиционные встречаются в истории, на циферблатах часов и в нумерации глав книг.
Непозиционные системы
В непозиционной системе значение знака не зависит от его места в записи. Самый известный пример — римская система. В ней X всегда означает десять, где бы ни стоял.
| Знак | Значение |
|---|---|
I | 1 |
V | 5 |
X | 10 |
L | 50 |
C | 100 |
Число складывается из значений знаков. Например, XXVII = 10 + 10 + 5 + 1 + 1 = 27. Если меньший знак стоит перед большим, его вычитают: IX = 10 − 1 = 9. Главное здесь то, что значок X в любом месте записи означает одно и то же — десять.
Позиционные системы
В позиционной системе значение цифры зависит от её позиции (разряда). Привычная нам десятичная система — позиционная. В числе 333 три одинаковые цифры означают разное: сотни, десятки и единицы.
333 = 3·100 + 3·10 + 3·1
Число знаков, которыми пользуется система, называют основанием. У десятичной системы основание 10, цифры от 0 до 9. В информатике важна двоичная система с основанием 2 и цифрами 0 и 1: именно ею пользуется компьютер, потому что в технике легко различить два состояния — есть сигнал или нет. Значение каждого разряда равно основанию в степени, равной номеру разряда.
Сравнение
| Признак | Позиционная | Непозиционная |
|---|---|---|
| Значение цифры | Зависит от места | Не зависит от места |
| Пример | Десятичная, двоичная | Римская |
| Удобство вычислений | Высокое | Низкое |
Правило. В позиционной системе одна и та же цифра в разных разрядах означает разное число. Именно поэтому такие системы удобны для счёта и арифметики.
Частая ошибка. Пытаются складывать римские числа «столбиком», как десятичные. Так делать нельзя: римская система непозиционная, и привычные правила сложения по разрядам к ней неприменимы. Чтобы посчитать, римские числа сначала переводят в десятичные, складывают, а потом результат записывают обратно.
Кратко о главном
- Система счисления — это правила записи чисел цифрами.
- В непозиционной системе значение знака не зависит от места (римская).
- В позиционной системе значение цифры зависит от разряда.
- Основание системы — это число используемых в ней знаков-цифр.
- В двоичной системе (основание
2) работает компьютер. - Позиционные системы удобнее для вычислений и техники.