Логические выражения с тремя переменными
💻 Информатика · 8 класс
Логические выражения с тремя переменными
Логическое выражение с тремя переменными — это формула, значение которой зависит от трёх высказываний, обозначаемых, например, буквами A, B и C. Для полного анализа такого выражения строят таблицу истинности из всех возможных наборов значений.
Сколько строк в таблице
Каждая переменная принимает два значения: 0 или 1. При трёх переменных число различных наборов равно два в третьей степени, то есть восьми. Поэтому таблица истинности всегда содержит восемь строк.
| A | B | C | Число наборов |
|---|---|---|---|
| 1 переменная | 2 | ||
| 2 переменные | 4 | ||
| 3 переменные | 8 | ||
Порядок заполнения наборов
Чтобы не пропустить ни одного набора, значения перебирают как двоичные числа от 000 до 111. Удобно, когда левый столбец меняется реже всего, а правый — чаще всего.
Разбор примера
Вычислим выражение (A И B) ИЛИ НЕ C. Сначала находим A И B, затем НЕ C, потом объединяем их через ИЛИ.
A B C | A·B | НЕ C | результат
0 0 0 | 0 | 1 | 1
0 1 1 | 0 | 0 | 0
1 1 0 | 1 | 1 | 1
1 1 1 | 1 | 0 | 1
Полная таблица содержит все восемь строк; здесь показаны несколько для иллюстрации порядка вычислений. Главное — соблюдать приоритет операций: сначала отрицание, затем «И», затем «ИЛИ».
Зачем нужны промежуточные столбцы
Сложное выражение удобно вычислять по частям. Для каждой подформулы заводят отдельный столбец и заполняют его до итогового. Тогда ошибиться гораздо труднее, чем при попытке посчитать всё в уме сразу.
- Выписать все восемь наборов значений переменных.
- Добавить столбцы для отрицаний и скобок.
- Заполнить столбцы простых операций.
- В последнем столбце объединить промежуточные результаты.
Равносильные выражения
Два выражения называют равносильными, если их итоговые столбцы совпадают на всех восьми наборах. Таблица истинности — надёжный способ проверить, что упрощённая формула не изменила смысл исходной.
Если столбцы выражений F1 и F2
совпали во всех 8 строках,
значит F1 и F2 равносильны.
Так с помощью таблицы можно убедиться, например, что выражение и его упрощённая запись действительно равны при любых значениях переменных.
Тождественные выражения
Если итоговый столбец состоит из одних единиц, выражение называют тождественно истинным: оно верно при любых значениях переменных. Если столбец из одних нулей — выражение тождественно ложно. Такие выражения встречаются при упрощении и помогают проверять рассуждения.
A ИЛИ НЕ A → всегда 1 (тождественно истинно)
A И НЕ A → всегда 0 (тождественно ложно)
Эти равенства легко проверить по таблице истинности: достаточно подставить оба значения переменной A и убедиться, что результат не зависит от выбора.
Частая ошибка: начинать вычисление с «ИЛИ», игнорируя приоритет. Всегда сначала выполняется НЕ, потом И, и только потом ИЛИ, если нет скобок, меняющих порядок.
Кратко о главном
- Три переменные дают восемь наборов значений.
- Наборы перебирают как двоичные числа от 000 до 111.
- Промежуточные столбцы упрощают вычисление сложного выражения.
- Порядок операций: сначала НЕ, затем И, затем ИЛИ.