Таблицы истинности логических выражений
💻 Информатика · 8 класс
Логические выражения и их значения
Логическое выражение — это запись, которая может принимать только два значения: истина или ложь. В записи участвуют логические переменные и логические операции. Таблица истинности показывает значение выражения для всех возможных наборов значений входящих в него переменных. Этот инструмент помогает доказать равносильность формул и понять, как устроена логика проверки условий.
Основные операции
- Отрицание (НЕ,
¬): меняет значение на противоположное. - Конъюнкция (И,
∧): истинна, только когда истинны оба операнда. - Дизъюнкция (ИЛИ,
∨): ложна, только когда ложны оба операнда.
Таблицы базовых операций
| A | B | A ∧ B | A ∨ B | ¬A |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
Как построить таблицу
Число строк равно двум в степени, равной количеству переменных. Для двух переменных — четыре строки, для трёх — восемь. Сначала выписывают все наборы значений переменных, затем добавляют столбцы для промежуточных результатов и, наконец, столбец для всего выражения. Разберём выражение ¬A ∨ B:
A=0, B=0: ¬A=1, итог = 1 ∨ 0 = 1
A=0, B=1: ¬A=1, итог = 1 ∨ 1 = 1
A=1, B=0: ¬A=0, итог = 0 ∨ 0 = 0
A=1, B=1: ¬A=0, итог = 0 ∨ 1 = 1
Получившийся столбец совпадает с таблицей операции импликации (следования), что и доказывает их равносильность.
Порядок выполнения операций
Сначала выполняется отрицание, затем конъюнкция, потом дизъюнкция. Скобки меняют порядок и выполняются первыми. Если не соблюдать этот порядок, значение выражения может получиться неверным.
Таблица для трёх переменных
Когда переменных три, таблица истинности содержит восемь строк, потому что 2^3 = 8. Наборы значений удобно выписывать так, чтобы они шли в порядке возрастания соответствующих двоичных чисел — от 000 до 111. Это гарантирует, что ни один набор не будет пропущен и ни один не повторится.
Разберём выражение A ∧ (B ∨ ¬C) для одного набора:
A=1, B=0, C=1
¬C = 0
B ∨ ¬C = 0 ∨ 0 = 0
A ∧ 0 = 0
Итог: 0
Равносильные формулы
Две формулы называют равносильными, если их таблицы истинности полностью совпадают. Равносильности помогают упрощать выражения. Например, закон двойного отрицания утверждает, что ¬(¬A) = A, а законы де Моргана связывают отрицание с конъюнкцией и дизъюнкцией:
¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B
¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B
Проверить такие равенства можно, построив таблицы истинности для левой и правой частей и сравнив итоговые столбцы.
Частая ошибка. Школьники путают дизъюнкцию с конъюнкцией: запоминайте, что И (∧) истинна лишь при двух единицах, а ИЛИ (∨) ложна лишь при двух нулях. Ещё одна ошибка — пропуск строк в таблице: число строк всегда равно двум в степени числа переменных.
Кратко о главном
- Логическое выражение принимает значения «истина» или «ложь».
- Таблица истинности перечисляет все наборы значений переменных.
- Число строк равно двум в степени числа переменных.
- Порядок: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция; скобки важнее всего.
- Совпадение столбцов доказывает равносильность формул.