Построение таблицы истинности по шагам
💻 Информатика · 8 класс
Зачем нужна таблица истинности
Таблица истинности — это таблица, которая показывает значение логического выражения при всех возможных наборах значений входящих в него переменных. С её помощью можно точно определить, в каких случаях выражение истинно, а в каких ложно. Кроме того, таблицы истинности позволяют сравнивать выражения: если у двух выражений итоговые столбцы совпадают, значит выражения равносильны. Это главный инструмент проверки в алгебре логики.
Сколько строк в таблице
Число строк зависит только от количества переменных. Если переменных n, то число наборов равно 2^n. Это объясняется просто: каждая переменная может принимать два значения, и наборы — это все комбинации.
| Число переменных | Число строк (наборов) |
|---|---|
| 1 | 2 |
| 2 | 4 |
| 3 | 8 |
| 4 | 16 |
Заметьте, как быстро растёт число строк: при пяти переменных их уже 32, а при десяти — больше тысячи. Поэтому таблицы вручную строят для небольшого числа переменных.
Алгоритм построения
Чтобы не запутаться, действуют строго по шагам.
- Подсчитать число переменных и вычислить число строк по формуле
2^n. - Выписать все наборы значений переменных. Удобно записывать их по возрастанию, как двоичные числа от нуля до
2^n − 1. - Определить порядок действий по приоритету: сначала отрицание, затем конъюнкция, затем дизъюнкция, потом импликация и эквивалентность.
- Добавить промежуточные столбцы — по одному для каждого действия.
- Заполнить столбцы по очереди и записать итоговый столбец последним.
Разбор примера
Построим таблицу для выражения (A или B) и (НЕ A). Сначала вычислим дизъюнкцию, потом отрицание переменной A, и только затем перемножим эти столбцы.
| A | B | A или B | НЕ A | Итог |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
Итоговый столбец получается логическим умножением третьего и четвёртого столбцов. Выражение истинно лишь в одной строке — когда A = 0, а B = 1. Если бы нам потребовалось сравнить это выражение с другим, мы построили бы таблицу и для него: совпадение итоговых столбцов во всех строках означало бы, что выражения равносильны и одно можно заменить другим.
Применение таблиц истинности
Таблицы истинности нужны не только для вычислений. С их помощью доказывают законы алгебры логики, проверяют, является ли выражение тождественно истинным (тавтологией) или тождественно ложным, а также решают логические задачи, перебирая все варианты. В цифровой технике по таблице истинности проектируют логические схемы, которые должны выдавать нужный сигнал при заданных входных условиях.
Частые ошибки. Не пропускайте промежуточные столбцы — без них в сложном выражении легко ошибиться. Строго соблюдайте приоритет операций: отрицание выполняется раньше, чем «и» и «или», а скобки меняют порядок. Обязательно проверьте, что выписаны ровно 2^n разных наборов и ни один не повторяется и не пропущен.
Кратко о главном
- Таблица истинности показывает значение выражения при всех наборах переменных.
- Число строк равно
2^n, гдеn— число переменных. - Наборы удобно выписывать как двоичные числа по возрастанию.
- Промежуточные столбцы добавляют по порядку приоритета операций.
- Итоговый столбец вычисляется в последнюю очередь.
- Совпадение итоговых столбцов означает равносильность выражений.