Восьмеричная система счисления
💻 Информатика · 8 класс
Что такое восьмеричная система счисления
Восьмеричная система счисления — это позиционная система с основанием восемь. В ней используются только восемь цифр: от 0 до 7. Цифры 8 и 9 в записи восьмеричных чисел не встречаются, потому что любое число, равное основанию, уже записывается переносом в следующий разряд. Как и в привычной десятичной системе, значение цифры зависит от её позиции (разряда) в числе: одна и та же цифра в разных разрядах означает разное количество.
В позиционной системе вес каждого разряда равен основанию системы в степени номера разряда. Номера разрядов считают справа налево, начиная с нуля. Для восьмеричной системы веса разрядов такие: единицы, восьмёрки, шестьдесят четыре, пятьсот двенадцать и так далее — то есть 8^0, 8^1, 8^2, 8^3. Запомнив этот ряд весов, легко переводить числа и проверять вычисления.
Зачем нужна восьмеричная система
Двоичные коды компьютера состоят только из нулей и единиц, поэтому они получаются очень длинными и неудобными для человека. Восьмеричная система служит сокращённой записью таких кодов. Одна восьмеричная цифра заменяет ровно три двоичных разряда (триаду), потому что восемь равно двум в третьей степени. Благодаря этому длинная двоичная цепочка становится в три раза короче и читается гораздо легче. Раньше восьмеричную систему широко применяли в программировании, и она до сих пор встречается в учебных задачах.
Перевод из восьмеричной в десятичную
Чтобы перевести число в десятичную систему, нужно каждую цифру умножить на вес её разряда и сложить результаты. Это называют развёрнутой формой записи числа.
Разберём пример для восьмеричного числа 175:
175 (8) = 1*64 + 7*8 + 5*1 = 64 + 56 + 5 = 125 (10)Здесь крайняя левая единица стоит в разряде шестидесяти четырёх, семёрка — в разряде восьмёрок, а пятёрка — в разряде единиц. Сложив произведения, получаем десятичное число 125.
Перевод из десятичной в восьмеричную
Обратный перевод выполняют делением с остатком. Десятичное число делят на восемь, запоминают остаток, потом частное снова делят на восемь, и так продолжают, пока частное не станет равным нулю. Остатки, выписанные снизу вверх, и дают искомое восьмеричное число.
| Действие | Частное | Остаток |
|---|---|---|
| 125 : 8 | 15 | 5 |
| 15 : 8 | 1 | 7 |
| 1 : 8 | 0 | 1 |
Читаем остатки снизу вверх: получаем 175. Результат совпал с проверкой выше, значит перевод выполнен верно. Полезно всегда делать обратную проверку: перевести полученный ответ назад в десятичную систему.
Связь с двоичной системой
Чтобы перевести двоичное число в восьмеричное, его разбивают на триады справа налево и каждую триаду заменяют одной восьмеричной цифрой. Если в крайней левой группе не хватает разрядов, её дополняют нулями слева.
001 111 101 (2) = 1 7 5 = 175 (8)Обратный перевод так же прост: каждую восьмеричную цифру заменяют тремя двоичными разрядами. Например, цифра 7 превращается в 111, а цифра 2 — в 010.
Частые ошибки: использовать в восьмеричном числе цифры 8 или 9 — это недопустимо. Ещё одна ошибка — разбивать двоичное число на триады слева направо, а не справа налево, из-за чего теряется правильное соответствие разрядов.
Кратко о главном
- Основание восьмеричной системы — восемь, цифры от 0 до 7.
- Вес разрядов справа налево: 1, 8, 64, 512.
- В десятичную переводят умножением цифр на веса разрядов.
- В восьмеричную переводят делением на восемь с остатком.
- Одна восьмеричная цифра соответствует трём двоичным разрядам.