Вычитание в двоичной системе счисления
💻 Информатика · 8 класс
Вычитание двоичных чисел
Вычитание в двоичной системе счисления выполняется по тем же правилам столбика, что и в десятичной, но цифр всего две — 0 и 1. Главное отличие — заём из старшего разряда: когда из меньшей цифры нужно вычесть большую, занимают единицу из соседнего слева разряда. Поскольку основание системы равно двум, эта занятая единица превращается в 2 в текущем разряде. Понимание двоичного вычитания помогает разобраться, как процессор выполняет арифметические действия над числами.
В школьном курсе информатики двоичную арифметику изучают после перевода чисел между системами счисления. Сначала осваивают сложение, затем — вычитание. Эти навыки нужны для решения задач и для понимания внутреннего устройства компьютера.
Правила вычитания в разряде
Для одного разряда возможны четыре случая. Их удобно запомнить в виде таблицы, чтобы при вычислениях не задумываться над каждым шагом.
| Уменьшаемое | Вычитаемое | Результат | Заём |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | нет |
| 1 | 0 | 1 | нет |
| 1 | 1 | 0 | нет |
| 0 | 1 | 1 | есть |
Правило. Случай0 − 1требует заёма: занимаем единицу из старшего разряда, она даёт два, и тогда2 − 1 = 1. Из соседнего разряда при этом нужно дополнительно вычесть единицу.
Разобранный пример
Вычтем 1010 − 0011 (это 10 − 3 в десятичной системе). Будем идти справа налево, разряд за разрядом, как в обычном столбике.
1 0 1 0
- 1 1
---------
Разряд 1: 0 - 1 -> заём, 2-1 = 1
Разряд 2: (1-1=0) - 1 -> заём, 2-1 = 1
Разряд 3: (1-1=0) - 0 = 0
Разряд 4: 1 - 0 = 1
Итог: 0 1 1 1
Ответ: 0111 (это 7 в десятичной)Проверим результат: 10 − 3 = 7. Перевод 0111 в десятичную систему даёт 0·8 + 1·4 + 1·2 + 1·1 = 7. Ответ совпал, значит вычитание выполнено верно. Такая двойная проверка — через перевод в десятичную систему — особенно полезна, пока навык ещё не доведён до автоматизма.
Связь с дополнительным кодом
В настоящем процессоре вычитание обычно не выполняют напрямую. Вместо этого его сводят к сложению с так называемым дополнительным кодом отрицательного числа. Это позволяет использовать одну и ту же схему сложения и для прибавления, и для вычитания. Однако базовое правило заёма понимать всё равно необходимо: без него невозможно проверять вычисления вручную и осознавать суть происходящего.
| Пример (десятичная) | Двоичная запись | Результат |
|---|---|---|
| 6 − 2 = 4 | 110 − 010 | 100 |
| 7 − 5 = 2 | 111 − 101 | 010 |
| 12 − 4 = 8 | 1100 − 0100 | 1000 |
Частая ошибка. Забывают уменьшить старший разряд после заёма. Сделав заём, обязательно вычтите из соседнего слева разряда дополнительную единицу. Из-за этой невнимательности получается неверный ответ.
Кратко о главном
- Двоичное вычитание выполняется в столбик с заёмом из старшего разряда.
- Занятая единица в двоичной системе даёт
2в текущем разряде. - После заёма соседний старший разряд уменьшается на единицу.
- В процессоре вычитание часто сводят к сложению с дополнительным кодом.
- Результат всегда проверяют переводом в десятичную систему.