Теорема об отрезках пересекающихся хорд

Пересекающиеся хорды

Когда две хорды окружности пересекаются внутри неё, между их отрезками возникает простое и полезное соотношение. Оно постоянно встречается в задачах основного государственного экзамена и при доказательствах, поэтому его стоит знать наизусть. Эта теорема — частный случай более общего понятия степени точки относительно окружности.

Формулировка теоремы

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой.

Пусть хорды AB и CD пересекаются в точке P, лежащей внутри окружности. Тогда выполняется равенство AP·PB = CP·PD. Это означает, что в какой бы точке хорды ни пересеклись, произведение длин получившихся кусочков одно и то же для обеих хорд.

Почему теорема верна

Соединим концы хорд так, чтобы получились два треугольника: APC и DPB. Эти треугольники подобны. Действительно, вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой, а углы при точке P равны как вертикальные. По первому признаку подобия треугольники подобны, а из подобия следует пропорция сходственных сторон. Перемножив крест-накрест члены пропорции, мы и получаем искомую формулу.

Разбор примера

Хорды AB и CD пересекаются в точке P. Известно, что AP = 4, PB = 9, а один из отрезков второй хорды CP = 6. Нужно найти длину отрезка PD.

По теореме об отрезках хорд имеем AP·PB = CP·PD, то есть 4·9 = 6·PD. Получаем 36 = 6·PD, откуда PD = 6. Значит, вторая хорда разбита точкой P на отрезки длиной 6 и 6, и точка P оказалась её серединой.

Частые ошибки. Перемножать нужно отрезки одной и той же хорды между собой, а не отрезки разных хорд. Распространённая ошибка — взять произведение AP·CP вместо правильного AP·PB. Также важно следить, чтобы точка пересечения находилась внутри окружности — для секущих извне формула выглядит иначе.

Где применяется теорема

Теорема об отрезках пересекающихся хорд особенно полезна в задачах, где нужно найти неизвестную длину, не прибегая к измерениям. Например, если через точку внутри круга проведены две хорды и известны три из четырёх отрезков, четвёртый находится в одно действие. Часто эту теорему комбинируют со свойствами диаметра: если одна из хорд является диаметром и перпендикулярна второй хорде, то она делит её пополам, и тогда произведение отрезков диаметра равно квадрату половины второй хорды. Такой приём встречается в задачах на нахождение радиуса по высоте сегмента и длине его основания.

Кратко о главном

• При пересечении хорд внутри окружности: AP·PB = CP·PD.
• Соотношение доказывается через подобие двух треугольников.
• Формула удобна для поиска неизвестного отрезка хорды.
• Перемножаются отрезки одной и той же хорды.