Скалярное произведение векторов
📏 Геометрия · 9 класс
Определение скалярного произведения
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними. Если угол между векторами равен alpha, то по определению a * b = |a| * |b| * cos(alpha). Результат — именно число (скаляр), а не вектор, отсюда и название. Угол между векторами отсчитывают, отложив оба вектора от одной точки; он лежит в пределах от 0 до 180 градусов.
Через координаты a = (ax; ay) и b = (bx; by) скалярное произведение вычисляется проще всего: a * b = ax*bx + ay*by. Эта формула особенно удобна, когда угол неизвестен, но заданы координаты векторов. Из двух выражений для произведения, приравняв их, как раз и выводят формулу косинуса угла.
Свойства
- Переместительное:
a * b = b * a. - Сочетательное относительно числа:
(k*a) * b = k*(a * b). - Распределительное:
a * (b + c) = a*b + a*c. - Скалярный квадрат равен квадрату длины:
a * a = |a|^2.
Благодаря этим свойствам с векторными выражениями можно работать почти как с обычными многочленами: раскрывать скобки и выносить общие множители. Например, (a + b) * (a + b) раскрывается в |a|^2 + 2*(a*b) + |b|^2.
Признак перпендикулярности
Если векторы ненулевые и перпендикулярны, то угол между ними равен 90 градусам, а cos(90) = 0. Значит, их скалярное произведение равно нулю. Верно и обратное: если произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то они перпендикулярны. Этим признаком удобно проверять перпендикулярность отрезков, заданных координатами.
| Знак произведения | Угол между векторами |
|---|---|
| больше нуля | острый |
| равно нулю | прямой |
| меньше нуля | тупой |
Формула угла
Из определения выражают косинус: cos(alpha) = (a * b) / (|a| * |b|). Подставив координаты, получают рабочую формулу cos(alpha) = (ax*bx + ay*by) / (|a| * |b|). По найденному косинусу определяют сам угол.
Разобранный пример
Найдём угол между векторами a = (3; 0) и b = (3; 3).
a * b = 3*3 + 0*3 = 9
|a| = 3, |b| = sqrt(9 + 9) = sqrt(18) = 3*sqrt(2)
cos(alpha) = 9 / (3 * 3*sqrt(2)) = 1 / sqrt(2)
Значит, alpha = 45 градусов. Знак произведения положительный, поэтому угол ожидаемо оказался острым.
Частые ошибки. Скалярное произведение — это число, его нельзя записывать со стрелкой как вектор. Косинус угла находят только после деления произведения на произведение длин; забывать про длины нельзя. При вычислении в координатах перемножают именно одноимённые координаты и затем складывают, а не перемножают всё подряд.
Кратко о главном
- Скалярное произведение равно произведению длин на косинус угла между векторами.
- В координатах оно равно сумме произведений одноимённых координат.
- Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы перпендикулярны.
- Косинус угла равен отношению произведения к произведению длин.
- По знаку произведения судят о виде угла между векторами.