Касающиеся окружности
📏 Геометрия · 9 класс
Касающиеся окружности
Две окружности на плоскости могут располагаться по-разному: не иметь общих точек, пересекаться в двух точках или иметь ровно одну общую точку. Последний случай называют касанием окружностей, и он бывает двух видов — внешним и внутренним. Тип расположения полностью определяется радиусами окружностей и расстоянием между их центрами.
Внешнее и внутреннее касание
Две окружности касаются, если имеют ровно одну общую точку. При внешнем касании окружности лежат по разные стороны от общей касательной, а при внутреннем — одна окружность находится внутри другой.
Очень важное свойство: при любом касании центры обеих окружностей и точка касания всегда лежат на одной прямой, которую называют линией центров. Это позволяет легко связывать расстояние между центрами с радиусами.
Связь с расстоянием между центрами
Обозначим расстояние между центрами буквой d, а радиусы окружностей — R и r, причём R — больший радиус. Тип взаимного расположения окружностей полностью определяется соотношением этих трёх величин, что удобно свести в таблицу.
| Расположение | Условие |
|---|---|
| Внешнее касание | d = R + r |
| Внутреннее касание | d = R − r |
| Пересечение в двух точках | R − r < d < R + r |
| Нет общих точек (одна вне другой) | d > R + r |
Разбор примера
Радиусы двух окружностей равны R = 7 и r = 3, а расстояние между их центрами d = 10. Определим тип взаимного расположения. Сравним расстояние с суммой радиусов: R + r = 7 + 3 = 10. Поскольку d = R + r, окружности касаются внешним образом.
Рассмотрим другой случай: пусть при тех же радиусах расстояние d = 4. Тогда R − r = 7 − 3 = 4, и так как d = R − r, перед нами внутреннее касание — меньшая окружность касается большей изнутри.
Частые ошибки. При внутреннем касании в формуле берут разность радиусов, а при внешнем — их сумму. Перепутав сумму и разность, легко ошибиться в определении типа касания. Также не забывайте, что в разности из большего радиуса вычитают меньший.
Общие касательные
С касанием окружностей связано понятие общей касательной — прямой, которая касается сразу обеих окружностей. При внешнем касании таких касательных три: две внешние и одна, проходящая через точку касания. При внутреннем касании остаётся только одна общая касательная — в самой точке касания. По мере того как окружности расходятся, число общих касательных меняется, и анализ этого числа сам по себе позволяет определить тип взаимного расположения. Задачи на общие касательные часто требуют построить вспомогательный прямоугольный треугольник на линии центров и применить теорему Пифагора, что связывает эту тему с метрическими соотношениями.
Кратко о главном
- Касание окружностей — это одна общая точка.
- Центры и точка касания всегда лежат на одной прямой.
- Внешнее касание выражается условием
d = R + r. - Внутреннее касание выражается условием
d = R − r.