Уравнение прямой по двум точкам

Уравнение прямой по двум точкам

Через две различные точки плоскости можно провести ровно одну прямую. Зная координаты этих точек, можно составить уравнение прямой — равенство, которому удовлетворяют координаты всех точек прямой и только их. Это один из ключевых приёмов метода координат: геометрическая прямая превращается в алгебраическое уравнение, с которым удобно работать.

Формула

Пусть даны точки A(x_1; y_1) и B(x_2; y_2). Уравнение прямой через них записывают в виде пропорции: (x − x_1) / (x_2 − x_1) = (y − y_1) / (y_2 − y_1). Эта запись означает, что для любой точки прямой отношение приращения по x к приращению по y постоянно. Из этого равенства после преобразований получают привычный вид y = k·x + b или общий вид A·x + B·y + C = 0.

Разбор примера

Составим уравнение прямой, проходящей через точки A(1; 2) и B(3; 6). Подставим координаты в пропорцию и приведём к виду с угловым коэффициентом.

(x − 1) / (3 − 1) = (y − 2) / (6 − 2)
(x − 1) / 2 = (y − 2) / 4
Умножим крест-накрест: 4·(x − 1) = 2·(y − 2)
4x − 4 = 2y − 4
4x = 2y, то есть y = 2x

Итоговое уравнение прямой: y = 2x. Проверим точку B: 6 = 2·3 — верно, значит уравнение составлено правильно.

Как проверить, лежит ли точка на прямой

Когда уравнение прямой уже составлено, проверить принадлежность любой точки очень просто: подставляют её координаты в уравнение и смотрят, обращается ли оно в верное равенство. Например, точка (2; 4) лежит на прямой y = 2x, потому что 4 = 2·2, а точка (2; 5) не лежит, так как 5 ≠ 2·2. Этот приём постоянно нужен в методе координат: найти точку пересечения двух прямых, проверить, проходит ли прямая через начало координат, определить, по одну ли сторону от прямой лежат две точки. Прямая y = 2x проходит через начало координат, потому что её свободный член b равен нулю.

Особый случай

Если x_1 = x_2, прямая вертикальна, и её уравнение имеет вид x = x_1. Делить на разность x_2 − x_1 в этом случае нельзя, потому что знаменатель обращается в ноль. Аналогично, если y_1 = y_2, прямая горизонтальна, и её уравнение y = y_1.

Частые ошибки. Путают порядок координат точки: первой записывают x, второй y. Делят на ноль для вертикальной прямой вместо записи x = const. Теряют минусы при раскрытии скобок и при переносе слагаемых.

Кратко о главном

• Через две точки проходит единственная прямая.
• Уравнение: (x − x_1)/(x_2 − x_1) = (y − y_1)/(y_2 − y_1).
• Его сводят к виду y = k·x + b.
• Для вертикальной прямой уравнение имеет вид x = x_1.