Вписанная и описанная окружности многоугольника

Две окружности правильного многоугольника

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и в любой правильный многоугольник можно вписать окружность. Описанная окружность проходит через все вершины многоугольника, а вписанная окружность касается всех его сторон. Замечательное свойство правильных многоугольников в том, что центры обеих окружностей совпадают — это общий центр многоугольника.

Из этого факта следует удобный приём: правильный многоугольник можно разбить на одинаковые равнобедренные треугольники, у которых вершина — центр, а основание — сторона. Через такой треугольник и выражаются все основные величины.

Радиусы и сторона

Пусть у правильного n-угольника сторона равна a. Тогда радиус описанной окружности R и радиус вписанной окружности r (его называют апофемой) связаны со стороной формулами:

a = 2R * sin(180° / n)
r = R * cos(180° / n)

Здесь r — это расстояние от центра до середины любой стороны, то есть высота того самого равнобедренного треугольника, опущенная из центра на сторону. Угол 180° / n — это половина центрального угла, под которым видна сторона.

Связь с площадью и периметром

Апофема позволяет компактно записать площадь правильного многоугольника. Так как многоугольник состоит из n одинаковых треугольников высотой r, его площадь равна:

Площадь правильного многоугольника: S = 0,5 * P * r, где P — периметр, а r — апофема (радиус вписанной окружности).

Разобранный пример

Найдём оба радиуса для правильного шестиугольника со стороной a = 4.

Для шестиугольника 180° / 6 = 30°. Тогда R = a / (2 sin 30°) = 4 / (2 * 0,5) = 4.
r = R cos 30° = 4 * (√3 / 2) = 2√3 ≈ 3,46.

Получился важный частный результат: у правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен стороне. Это связано с тем, что шестиугольник разбивается на шесть равносторонних треугольников.

Зная сторону и число углов, по этим формулам можно восстановить и радиусы, и площадь, и периметр любого правильного многоугольника. Поэтому тема тесно связана с вычислением длины окружности и площади круга.

Частые ошибки. Не путайте описанную окружность (проходит через вершины) и вписанную (касается сторон). Радиус вписанной всегда меньше радиуса описанной. Полезно помнить, что у шестиугольника радиус описанной окружности равен его стороне.

Кратко о главном

• В правильный многоугольник вписана окружность, а около него описана окружность.
• Центры обеих окружностей совпадают с центром многоугольника.
• Радиус вписанной окружности называется апофемой.
• Сторона, радиусы, периметр и площадь связаны формулами через угол 180° / n.