Координаты середины отрезка

Середина отрезка

Серединой отрезка называют точку, которая делит его на две равные части. Если концы отрезка заданы своими координатами, то и середину можно найти простым вычислением, не выполняя никаких построений. Это одна из базовых формул метода координат, без которой не обходятся задачи на медианы, диагонали и симметрию.

Формула координат середины

Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.

Для точек A(x_1; y_1) и B(x_2; y_2) середина M имеет координаты x = (x_1 + x_2)/2 и y = (y_1 + y_2)/2. Геометрический смысл прост: середина — это среднее арифметическое положений двух точек, вычисленное отдельно по каждой оси. По горизонтали она стоит ровно между точками, и по вертикали — тоже ровно между ними.

Формулу легко обосновать через вектор: вектор от начала координат к середине равен полусумме векторов к концам отрезка. Это объясняет, почему берётся именно полусумма, а не разность или произведение.

Разбор примера

Найдём координаты середины отрезка с концами A(−2; 3) и B(6; 7). Считаем по каждой координате отдельно.

Абсцисса середины: x = (−2 + 6)/2 = 4/2 = 2. Ордината середины: y = (3 + 7)/2 = 10/2 = 5. Получаем точку M(2; 5). Эта формула важна при поиске точки пересечения медиан треугольника, при доказательстве того, что четырёхугольник — параллелограмм (его диагонали делятся точкой пересечения пополам, то есть имеют общую середину), а также в задачах на центральную симметрию.

Частые ошибки. Координаты концов нужно складывать, а не вычитать. Вычитание координат даёт компоненты вектора, направленного от одной точки к другой, но никак не координаты середины. Ещё одна ошибка — забыть разделить сумму на два.

Где это используется

Формула середины отрезка применяется очень широко. С её помощью находят координаты центра окружности, если известны концы диаметра: центр — это середина диаметра. В задачах на параллелограмм формула позволяет проверить, что диагонали имеют общую середину, и тем самым доказать, что четырёхугольник действительно параллелограмм. При построении центральной симметрии относительно точки эта формула работает в обратную сторону: зная точку и центр симметрии, находят образ. Так одна простая формула связывает между собой темы окружности, четырёхугольников и преобразований плоскости, что делает её одной из самых востребованных в курсе.

Кратко о главном

• Середина делит отрезок на две равные части.
• Координаты середины равны полусуммам координат концов.
• Формула середины: M((x_1 + x_2)/2; (y_1 + y_2)/2).
• Используется для медиан, параллелограммов и симметрии.