Решение треугольников
📏 Геометрия · 9 класс
Что значит «решить треугольник»
Решить треугольник — значит найти все его неизвестные элементы (стороны и углы), если задано достаточно данных. Каждый треугольник имеет шесть основных элементов: три стороны и три угла. Чтобы однозначно восстановить треугольник, достаточно знать три из этих элементов, причём среди них обязательно должна быть хотя бы одна сторона. Если известны только три угла, треугольник определяется лишь с точностью до подобия: его форма ясна, а размеры — нет.
Основными инструментами решения служат теорема синусов и теорема косинусов. Они связывают стороны треугольника с противолежащими им углами и позволяют переходить от известных элементов к неизвестным. Вспомогательную роль играет теорема о сумме углов треугольника, по которой третий угол всегда легко найти, зная два других.
Опорные формулы
Договоримся обозначать стороны буквами a, b, c, а противолежащие им углы — A, B, C. Тогда работают следующие соотношения.
- Теорема синусов:
a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R, где R — радиус описанной около треугольника окружности. - Теорема косинусов:
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc * cos A. Аналогичные равенства верны и для сторон b и c. - Сумма углов:
A + B + C = 180°.
Полезно помнить и связь между сторонами и углами: против большей стороны всегда лежит больший угол, а против равных сторон — равные углы. Эта проверка помогает отсеять неверные ответы.
Основные случаи
Выбор формулы зависит от того, какие именно элементы заданы. Удобно разобрать четыре типичных случая.
| Что дано | Чем решаем |
|---|---|
| Две стороны и угол между ними | Теорема косинусов для третьей стороны, затем теорема синусов для углов |
| Сторона и два прилежащих к ней угла | Третий угол по сумме углов, остальные стороны по теореме синусов |
| Три стороны | Все углы по теореме косинусов |
| Две стороны и угол против одной из них | Теорема синусов; решение может быть неоднозначным |
Разобранный пример
Пусть даны стороны b = 5, c = 7 и угол между ними A = 60°. Найдём сторону a по теореме косинусов.
a^2 = 5^2 + 7^2 - 2 * 5 * 7 * cos 60° = 25 + 49 - 70 * 0,5 = 74 - 35 = 39, значитa = √39 ≈ 6,24.
Теперь угол B найдём по теореме синусов: sin B = b * sin A / a = 5 * sin 60° / √39. Подставив sin 60° ≈ 0,866, получим sin B ≈ 0,693, откуда B ≈ 43,9°. Последний угол находим из суммы: C = 180° - 60° - 43,9° = 76,1°. Все шесть элементов треугольника определены.
Случай неоднозначности
Если заданы две стороны и угол против меньшей из них, треугольник может существовать в двух разных вариантах, в одном или вовсе не существовать. Причина в том, что синус принимает одно и то же значение для острого и тупого углов, дополняющих друг друга до 180°. Поэтому после вычисления синуса нужно проверять, какие из найденных углов согласуются с суммой углов треугольника и с неравенством «против большей стороны — больший угол».
Частые ошибки. Не путайте теорему косинусов с теоремой Пифагора: Пифагор — это частный случай при угле 90°, когда косинус обращается в ноль. Следите за тем, чтобы против большей стороны действительно оказался больший угол, и не забывайте проверять неоднозначные случаи.
Кратко о главном
- Решить треугольник — значит найти все шесть его элементов.
- Для однозначности нужны три элемента, среди которых хотя бы одна сторона.
- Теорема косинусов применяется, когда даны две стороны и угол между ними либо три стороны.
- Теорема синусов применяется, когда известны сторона и углы.
- В случае «две стороны и угол против одной» возможна неоднозначность ответа.