Площадь многоугольника по координатам вершин
📏 Геометрия · 9 класс
Площадь через координаты
Если фигура задана координатами своих вершин на плоскости, её площадь можно вычислить без построения высот и без измерения углов. Это один из главных приёмов метода координат, который изучается в 9 классе. Достаточно знать пары чисел — координаты вершин, — и площадь находится прямой подстановкой в формулу.
Идея состоит в том, что площадь связана с косым (векторным) произведением векторов, выходящих из одной вершины. Это произведение легко выражается через координаты и сразу даёт удвоенную площадь треугольника.
Площадь треугольника
Пусть вершины треугольника имеют координаты A(x1; y1), B(x2; y2), C(x3; y3). Тогда площадь вычисляется по формуле:
S = 0,5 * |(x2 - x1)(y3 - y1) - (x3 - x1)(y2 - y1)|Выражение внутри модуля — это косое произведение векторов AB и AC. Модуль необходим потому, что площадь всегда неотрицательна, тогда как само выражение может оказаться отрицательным: его знак зависит от того, в каком порядке (по часовой стрелке или против) перечислены вершины.
Разобранный пример
Найдём площадь треугольника с вершинами A(1; 1), B(5; 2), C(3; 6).
x2 - x1 = 4, y3 - y1 = 5, x3 - x1 = 2, y2 - y1 = 1S = 0,5 * |4 * 5 - 2 * 1| = 0,5 * |20 - 2| = 0,5 * 18 = 9
Площадь равна 9 квадратным единицам. Заметьте: если бы мы перечислили вершины в другом порядке, выражение под модулем поменяло бы знак, но после взятия модуля результат остался бы тем же.
Площадь многоугольника
Для произвольного многоугольника с вершинами, перечисленными подряд в порядке обхода контура, применяют формулу площади Гаусса, которую из-за наглядного способа вычисления называют формулой «шнурков»:
S = 0,5 * |x1(y2 - yn) + x2(y3 - y1) + ... + xn(y1 - y(n-1))|Каждая координата x умножается на разность игреков соседних вершин, все произведения складываются, результат берётся по модулю и делится пополам. Такой способ работает и для выпуклых, и для невыпуклых многоугольников.
| Фигура | Как считать |
|---|---|
| Треугольник | По формуле с двумя векторами из одной вершины |
| Четырёхугольник и более | Формула площади по координатам (шнурки) |
| Невыпуклый многоугольник | Та же формула; важен правильный порядок обхода |
Метод особенно удобен в задачах, где фигура задана на координатной плоскости и измерить её стороны или углы напрямую затруднительно. Достаточно аккуратно выписать координаты всех вершин в порядке обхода.
Частые ошибки. Вершины надо перечислять подряд вдоль контура (либо по часовой стрелке, либо против), иначе формула даст неверный результат. Нельзя забывать про модуль и про множитель 0,5. При переходе к последней вершине не путайте соседние индексы.
Кратко о главном
- Площадь фигуры можно найти прямо по координатам её вершин.
- Для треугольника используется косое произведение двух сторон-векторов.
- Для многоугольника применяется формула «шнурков».
- Обязательны модуль, множитель 0,5 и правильный порядок обхода вершин.