Начальные сведения из стереометрии
📏 Геометрия · 9 класс
Начальные сведения из стереометрии
Стереометрия — это раздел геометрии, изучающий фигуры в пространстве. В девятом классе с ней знакомятся обзорно: рассматривают основные пространственные тела и формулы для вычисления их объёмов и площадей поверхности. Объём — это величина, показывающая, сколько места занимает тело в пространстве; измеряется в кубических единицах. В отличие от планиметрии, где фигуры лежат в одной плоскости, здесь точки, прямые и плоскости расположены в трёхмерном пространстве.
Многогранники
К многогранникам относятся тела, ограниченные плоскими многоугольниками — гранями. Линии пересечения граней называют рёбрами, а точки схождения рёбер — вершинами. Простейшие многогранники — призма и пирамида. У прямой призмы два равных параллельных основания, а боковые грани — прямоугольники. Частный случай призмы — прямоугольный параллелепипед, у которого все грани прямоугольные; ещё более частный случай — куб. У пирамиды одно основание-многоугольник, а боковые грани — треугольники, сходящиеся в вершине.
Тела вращения
Тела вращения получаются вращением плоской фигуры вокруг оси. Цилиндр образуется вращением прямоугольника, конус — вращением прямоугольного треугольника, а шар — вращением полукруга вокруг диаметра. Их боковые поверхности уже не плоские, а кривые. Поверхность шара называют сферой.
| Тело | Объём |
|---|---|
| прямая призма | V = S * h |
| пирамида | V = (1/3) * S * h |
| цилиндр | V = pi * R^2 * h |
| конус | V = (1/3) * pi * R^2 * h |
| шар | V = (4/3) * pi * R^3 |
Сравнение объёмов
Полезно подметить закономерность: объём пирамиды втрое меньше объёма призмы с тем же основанием и высотой, а объём конуса втрое меньше объёма цилиндра с теми же радиусом и высотой. Поэтому в формулах пирамиды и конуса появляется множитель одна треть. Это помогает не запоминать формулы вслепую, а понимать их.
Разобранный пример
Найдём объём цилиндра с радиусом основания 3 и высотой 10.
V = pi * R^2 * h = pi * 9 * 10 = 90 * pi
Объём равен 90 * pi кубических единиц, что приближённо составляет около 283. Если из такого цилиндра вырезать конус с тем же основанием и высотой, его объём будет втрое меньше — 30 * pi.
Частые ошибки. В формулах объёма конуса и пирамиды не забывают множитель одна треть, а у шара радиус возводят в куб, а не в квадрат. Объём всегда выражают в кубических единицах, а площадь поверхности — в квадратных. Высоту тела отсчитывают перпендикулярно основанию, а не по боковому ребру.
Кратко о главном
- Стереометрия изучает фигуры в пространстве, их объёмы и поверхности.
- Многогранники ограничены плоскими гранями: призма, пирамида, параллелепипед, куб.
- Тела вращения — цилиндр, конус, шар — имеют кривые поверхности.
- Объём призмы и цилиндра равен произведению площади основания на высоту.
- У пирамиды и конуса объём втрое меньше — с множителем одна треть.