Площадь сектора и сегмента круга

Сектор и сегмент

Круговой сектор — это часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой между их концами. Круговой сегмент — часть круга, отсечённая хордой, то есть фигура, ограниченная хордой и стягиваемой ею дугой. Обе фигуры — естественное продолжение темы длины окружности и площади круга, но для них нужны отдельные формулы.

Главная идея: и длина дуги, и площадь сектора пропорциональны центральному углу. Чем больше угол, тем больше соответствующая часть окружности и круга.

Длина дуги

Длина всей окружности равна C = 2πR и отвечает углу 360°. Дуга в n градусов составляет долю n / 360 от полной окружности, поэтому её длина:

L = (πR / 180) * n

Здесь радиус R входит в первой степени, а в знаменателе стоит число 180. Это важно не путать с формулой площади.

Площадь сектора

Площадь всего круга равна S = πR^2 и тоже отвечает углу 360°. Сектор с центральным углом n градусов составляет ту же долю n / 360 от площади круга:

S(сектора) = (πR^2 / 360) * n

Теперь радиус возводится в квадрат, а в знаменателе стоит 360. Сравнение двух формул помогает их запомнить и не перепутать.

Площадь сегмента

Сегмент получается из сектора, если из него убрать (или, наоборот, к нему добавить) треугольник, образованный двумя радиусами и хордой.

Для сегмента, меньшего полукруга: S(сегмента) = S(сектора) - S(треугольника), где площадь треугольника равна 0,5 * R^2 * sin n.

Если сегмент больше полукруга (центральный угол превышает 180°), то треугольник, наоборот, прибавляется к сектору. Поэтому при работе с сегментом всегда полезно представить себе чертёж.

Разобранный пример

Пусть радиус R = 6, а центральный угол равен 90°. Найдём площадь сектора.

S(сектора) = (π * 36 / 360) * 90 = (π * 36 / 4) = 9π ≈ 28,3

Длина дуги того же сектора: L = (π * 6 / 180) * 90 = 3π ≈ 9,42. А площадь треугольника с двумя радиусами и прямым углом между ними равна 0,5 * 36 * sin 90° = 18, поэтому площадь меньшего сегмента составит 9π - 18 ≈ 10,3.

Частые ошибки. Не путайте формулу длины дуги (радиус в первой степени, делитель 180) и площади сектора (радиус в квадрате, делитель 360). Для большого сегмента треугольник нужно прибавлять, а не вычитать. Угол подставляется в градусах, как и в исходных формулах.

Кратко о главном

• Сектор ограничен двумя радиусами и дугой, а сегмент — хордой и дугой.
• Длина дуги пропорциональна центральному углу.
• Площадь сектора — это доля площади круга, отвечающая углу.
• Площадь сегмента находится через сектор и вспомогательный треугольник.