Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Базис на плоскости

Разложить вектор по двум векторам — значит представить его в виде суммы этих векторов, взятых с некоторыми числовыми коэффициентами. Два вектора называются неколлинеарными, если они не лежат на одной прямой и не параллельны друг другу. Именно пара неколлинеарных векторов позволяет описать всю плоскость.

Любой вектор плоскости можно единственным образом разложить по двум неколлинеарным векторам. Такая пара векторов образует базис плоскости.

Это утверждение — одно из ключевых в векторном методе. Оно означает, что для описания любого вектора достаточно двух «опорных» направлений, а все остальные векторы получаются их комбинациями.

Формула разложения

Если p и q — неколлинеарные векторы, то для любого вектора a существуют единственные числа x и y, такие что:

a = x * p + y * q

Числа x и y называются координатами вектора a в базисе из векторов p и q. Единственность означает, что других чисел, дающих тот же вектор, не найдётся, — это и делает разложение надёжным инструментом вычислений.

Почему именно неколлинеарные

Если бы векторы p и q были коллинеарны, то любая их комбинация x * p + y * q лежала бы на одной и той же прямой. Тогда разложить по ним удалось бы лишь те векторы, что направлены вдоль этой прямой, а большинство векторов плоскости остались бы недостижимы. Поэтому условие неколлинеарности обязательно: только оно гарантирует, что базис «покрывает» всю плоскость.

Разобранный пример

Пусть ABCD — параллелограмм, в котором AB = p и AD = q. Выразим через них вектор диагонали AC.

По правилу параллелограмма AC = AB + AD = p + q. Значит координаты вектора AC в базисе из p и q равны (1; 1).

Аналогично для второй диагонали: BD = AD - AB = q - p, её координаты (-1; 1). А вектор от вершины A к центру параллелограмма равен половине диагонали: 0,5p + 0,5q.

Разложение векторов лежит в основе всего векторного метода: переходя к координатам, мы сводим геометрические задачи к арифметике над числами-коэффициентами.

Частые ошибки. Нельзя брать в качестве базиса коллинеарные векторы — разложение тогда не для всех векторов существует. Важно не путать сложение векторов (по правилу треугольника или параллелограмма) с обычным сложением чисел и аккуратно следить за знаками коэффициентов.

Кратко о главном

• Любой вектор плоскости раскладывается по двум неколлинеарным векторам.
• Разложение единственно, а его коэффициенты — координаты вектора в базисе.
• Условие неколлинеарности базисных векторов обязательно.
• Разложение опирается на правила сложения векторов и умножения вектора на число.