Вписанные и центральные углы

Вписанные и центральные углы

Центральный угол — это угол с вершиной в центре окружности; его стороны пересекают окружность, выделяя дугу. Градусная мера дуги по определению равна мере соответствующего центрального угла. Вся окружность при этом отвечает развёрнутому обходу и имеет меру 360 градусов. Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами; он опирается на дугу, заключённую между этими хордами.

Теорема о вписанном угле

Главное свойство связывает эти два вида углов: вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Иначе говоря, вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Это утверждение называют теоремой о вписанном угле, и оно лежит в основе многих задач на окружность.

Важные следствия

• Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой, ведь все они равны половине одной и той же дуги.
• Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой — он равен 90 градусам, так как опирается на половину окружности.
• Угол между касательной и хордой также равен половине заключённой между ними дуги.

Применение в задачах

Свойство вписанного угла помогает находить неизвестные углы в фигурах, вписанных в окружность. Например, в любом вписанном четырёхугольнике суммы противоположных углов равны 180 градусам — это прямое следствие теоремы. Если же треугольник вписан в окружность так, что одна его сторона является диаметром, то противолежащий ей угол обязательно прямой.

Разобранный пример

Центральный угол опирается на дугу и равен 80 градусам. Найдём вписанный угол, опирающийся на ту же дугу.

вписанный угол = 80 / 2 = 40 градусов.

Если же вписанный угол опирается на диаметр, то дуга равна 180 градусам, и угол равен 180 / 2 = 90 градусам. Решим и обратную задачу: если вписанный угол равен 25 градусам, то дуга, на которую он опирается, равна 50 градусам, а центральный угол на той же дуге — тоже 50 градусов.

Частые ошибки. Вписанный угол вдвое меньше центрального, а не наоборот. Свойство о равенстве углов работает только для углов, опирающихся на одну и ту же дугу; для разных дуг равенства нет. Опираться угол должен на дугу, лежащую внутри него, а не на оставшуюся часть окружности.

Кратко о главном

• Центральный угол равен дуге, на которую опирается.
• Вписанный угол равен половине центрального и половине дуги.
• Вписанные углы на одной дуге равны.
• Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой.
• В описанной окружности суммы противоположных углов четырёхугольника равны 180 градусам.