Сложение и вычитание векторов

Действия с векторами

Вектор — это направленный отрезок, у которого есть длина и направление. Векторы можно складывать и вычитать, и для этих действий существуют наглядные геометрические правила. Векторное сложение лежит в основе многих задач не только геометрии, но и физики, где складывают силы, скорости и перемещения.

Правило треугольника

Чтобы сложить два вектора, отложим второй вектор от конца первого; тогда вектор, идущий от начала первого до конца второго, и есть искомая сумма.

Если от точки A отложен вектор к точке B, а от B — вектор к точке C, то их сумма равна вектору, идущему от A к C: AB + BC = AC. Правило треугольника удобно тем, что наглядно показывает результирующее перемещение.

Правило параллелограмма

Для двух векторов с общим началом строят параллелограмм, у которого эти векторы являются сторонами. Их сумма — это диагональ параллелограмма, выходящая из общего начала. Такой способ особенно удобен в физике при сложении сил, приложенных к одной точке.

Если складывают несколько векторов сразу, применяют правило многоугольника: каждый следующий вектор откладывают от конца предыдущего, а сумма соединяет начало первого с концом последнего.

Вычитание векторов

Разность a − b — это такой вектор, который в сумме с вектором b даёт вектор a. Если оба вектора отложены от одной точки, то их разность направлена от конца вычитаемого вектора b к концу уменьшаемого вектора a.

Разбор примера в координатах

Пусть заданы векторы a(3; 1) и b(1; 4). При сложении и вычитании действия выполняются над одноимёнными компонентами по отдельности.

Сумма: a + b = (3 + 1; 1 + 4) = (4; 5). Разность: a − b = (3 − 1; 1 − 4) = (2; −3). Координатный способ удобен тем, что сводит геометрические построения к простой арифметике.

Частые ошибки. При сложении по правилу треугольника второй вектор откладывают именно от конца первого, а не от его начала. Если отложить от начала, результат окажется неверным. При вычитании в координатах важно соблюдать порядок: a − b и b − a — противоположные векторы.

Свойства сложения

Сложение векторов подчиняется тем же законам, что и сложение чисел. Оно переместительно: a + b = b + a, поэтому порядок слагаемых не влияет на сумму. Оно сочетательно: (a + b) + c = a + (b + c), что позволяет складывать несколько векторов в любой группировке. Существует нулевой вектор, прибавление которого ничего не меняет, и у каждого вектора есть противоположный, в сумме с которым получается нулевой вектор. Благодаря этим свойствам с векторными равенствами можно работать почти так же свободно, как с обычными алгебраическими выражениями, перенося слагаемые из одной части в другую.

Кратко о главном

• Векторы складывают по правилу треугольника или параллелограмма.
• Несколько векторов складывают по правилу многоугольника.
• В координатах складывают и вычитают одноимённые компоненты.
• Разность a − b в сумме с b даёт вектор a.