Угловой коэффициент и условие параллельности прямых

Угловой коэффициент прямой

Прямую на координатной плоскости часто задают уравнением y = k·x + b. Число k называют угловым коэффициентом, а b — свободным членом. Угловой коэффициент показывает наклон прямой и равен тангенсу угла, который прямая образует с положительным направлением оси x: k = tg α. Чем больше по модулю k, тем круче поднимается или опускается прямая.

Как найти угловой коэффициент

По двум точкам A(x_1; y_1) и B(x_2; y_2) угловой коэффициент равен отношению приращений: k = (y_2 − y_1) / (x_2 − x_1). В числителе стоит изменение ординаты, в знаменателе — изменение абсциссы. Свободный член b — это ордината точки пересечения прямой с осью y, то есть значение y при x = 0.

Параллельность и перпендикулярность

Эти условия — главное практическое применение углового коэффициента. Они позволяют по уравнениям прямых сразу сказать, как прямые расположены друг относительно друга.

• Параллельны: угловые коэффициенты равны, k_1 = k_2 (а свободные члены различны).
• Перпендикулярны: произведение коэффициентов равно −1, то есть k_1·k_2 = −1.

Разбор примера

Найдём угловой коэффициент прямой, проходящей через точки A(1; 3) и B(4; 9), а затем коэффициент прямой, перпендикулярной ей.

k_1 = (9 − 3) / (4 − 1) = 6 / 3 = 2
Для перпендикулярной: k_2 = −1 / k_1 = −1 / 2 = −0,5

Первая прямая возрастает, поскольку k_1 = 2 > 0, а перпендикулярная ей прямая убывает, так как k_2 = −0,5 < 0. Их произведение 2·(−0,5) = −1 подтверждает перпендикулярность.

Угол между прямыми

Угловой коэффициент позволяет находить не только параллельность и перпендикулярность, но и угол между двумя прямыми. Тангенс этого угла выражают через коэффициенты по формуле tg φ = (k_2 − k_1) / (1 + k_1·k_2). Если знаменатель обращается в ноль, это и означает, что прямые перпендикулярны, ведь тогда 1 + k_1·k_2 = 0, то есть k_1·k_2 = −1. А если числитель равен нулю, то k_1 = k_2 и прямые параллельны, угол между ними нулевой. Так одна формула объединяет оба важных частных случая и заодно даёт величину наклона между любыми пересекающимися прямыми.

Частые ошибки. В формуле k меняют местами числитель и знаменатель: вверху должно стоять приращение y, внизу приращение x. Для перпендикулярности приравнивают сами коэффициенты, а нужно приравнять к −1 их произведение. Забывают, что вертикальная прямая углового коэффициента не имеет.

Кратко о главном

• В уравнении y = k·x + b число k — угловой коэффициент, k = tg α.
• По двум точкам: k = (y_2 − y_1)/(x_2 − x_1).
• Параллельные прямые: k_1 = k_2.
• Перпендикулярные прямые: k_1·k_2 = −1.