Объёмы шара, цилиндра и конуса (начальные сведения)

Тела вращения

В конце 9 класса даются начальные сведения из стереометрии, в том числе первое знакомство с понятием объёма. Объёмом называют величину, показывающую, сколько места занимает тело в пространстве. Объём измеряется в кубических единицах и обладает теми же привычными свойствами, что и площадь: равные тела имеют равные объёмы, а объём целого равен сумме объёмов частей.

На этом этапе подробно рассматривают три важных тела — цилиндр, конус и шар. Все они являются телами вращения: каждое получается вращением плоской фигуры вокруг прямой.

Как получаются эти тела

• Цилиндр получается вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон.
• Конус получается вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов.
• Шар получается вращением круга (точнее, полукруга) вокруг диаметра.

Понимание того, как образуется тело, помогает запомнить, какие именно элементы — радиус основания и высота — входят в формулы его объёма. У цилиндра есть два равных круговых основания и высота; у конуса — одно круговое основание, вершина и высота; у шара выделяется только его центр и радиус.

Полезно представлять себе и сечения этих тел. Если рассечь цилиндр плоскостью, проходящей через ось, в сечении получится прямоугольник; для конуса при таком же сечении получается равнобедренный треугольник, а для шара — круг с центром в центре шара. Такие наглядные образы помогают не путать тела и их формулы.

Формулы объёма

Обозначим радиус основания (или радиус шара) буквой R, а высоту тела — буквой h. Тогда объёмы вычисляются так.

Цилиндр: V = πR^2 * h — площадь основания, умноженная на высоту.
Конус: V = (1/3) * πR^2 * h.
Шар: V = (4/3) * πR^3.

Сравнение первых двух формул даёт наглядный вывод: объём конуса составляет ровно треть объёма цилиндра, имеющего такое же основание и такую же высоту. У шара же радиус входит в третьей степени, а высоты как таковой нет.

Разобранный пример

Найдём объём цилиндра с радиусом основания R = 3 и высотой h = 5.

V = π * 3^2 * 5 = π * 9 * 5 = 45π ≈ 141,3

Для конуса с теми же радиусом и высотой объём был бы втрое меньше: V = (1/3) * 45π = 15π ≈ 47,1. А для шара радиуса R = 3 получаем V = (4/3) * π * 27 = 36π ≈ 113,1.

Эти формулы — лишь начало знакомства со стереометрией: подробно объёмы и площади поверхностей тел вращения изучают позже, в старших классах. Но уже сейчас полезно уметь подставлять числа в готовые формулы и оценивать результат.

Частые ошибки. Не забывайте множитель «одна треть» в формуле объёма конуса. У шара радиус возводится в третью степень, а не во вторую. Внимательно следите за единицами измерения: объём всегда выражается в кубических единицах, а не в квадратных.

Кратко о главном

• Цилиндр, конус и шар — это тела вращения.
• Объём цилиндра равен площади основания, умноженной на высоту.
• Объём конуса в три раза меньше объёма такого же цилиндра.
• Объём шара пропорционален кубу его радиуса.