Уравнение прямой
📏 Геометрия · 9 класс
Уравнение прямой на плоскости
В методе координат прямую тоже можно задать уравнением — равенством, которому удовлетворяют координаты всех её точек и только их. Общее уравнение прямой имеет вид ax + by + c = 0, где числа a и b одновременно не равны нулю. Любая прямая на плоскости описывается таким уравнением, и наоборот: каждое подобное уравнение задаёт прямую.
Уравнение с угловым коэффициентом
Если прямая не параллельна оси ординат, её удобно записать в виде y = kx + m. Здесь k — угловой коэффициент, показывающий наклон прямой, а m — ордината точки пересечения с осью ординат. Чем больше k по модулю, тем круче прямая идёт. При положительном k прямая поднимается слева направо, при отрицательном — опускается, при нулевом — горизонтальна.
| Случай | Условие |
|---|---|
| прямые параллельны | k1 = k2 |
| прямые перпендикулярны | k1 * k2 = -1 |
| прямая горизонтальна | k = 0 |
| прямая вертикальна | x = const |
Прямая, параллельная оси
Прямую, параллельную оси ординат, нельзя записать через угловой коэффициент: у неё все точки имеют одинаковую абсциссу, поэтому уравнение принимает вид x = const. Аналогично горизонтальная прямая задаётся уравнением y = const. Эти случаи как раз и объясняют, почему в общем уравнении сохраняют оба коэффициента a и b.
Построение прямой
Чтобы построить прямую по уравнению, достаточно найти две её точки, ведь через две точки проходит единственная прямая. Обычно подставляют удобные значения переменной и вычисляют пары координат, затем проводят прямую через полученные точки. Удобно брать точки пересечения с осями: при x = 0 находят пересечение с осью ординат, при y = 0 — с осью абсцисс.
Разобранный пример
Дано уравнение 2x + y - 4 = 0. Приведём к виду с угловым коэффициентом и найдём две точки.
Выразим y: y = -2x + 4. Значит k = -2, m = 4.
При x = 0 получаем y = 4; при x = 2 получаем y = 0. Прямая проходит через точки (0; 4) и (2; 0). Угловой коэффициент отрицателен, поэтому прямая убывает — это согласуется с тем, что при росте x значение y уменьшается.
Частые ошибки. В общем уравнении нельзя одновременно занулятьaиb— иначе это уже не прямая. Условие перпендикулярности — именно произведение угловых коэффициентов, равное минус единице, а не их равенство. Вертикальную прямую нельзя задать формулой с угловым коэффициентом.
Кратко о главном
- Общее уравнение прямой:
ax + by + c = 0. - Уравнение с угловым коэффициентом:
y = kx + m. - Параллельные прямые имеют равные угловые коэффициенты.
- У перпендикулярных прямых произведение угловых коэффициентов равно
-1. - Для построения достаточно найти две точки, удобнее всего — на осях.