Уравнение окружности
📏 Геометрия · 9 класс
Уравнение окружности
Окружность — это множество всех точек плоскости, удалённых от данной точки (центра) на одно и то же расстояние, равное радиусу. Используя метод координат и формулу расстояния между точками, можно записать это свойство в виде уравнения и работать с окружностью алгебраически.
Пусть центр имеет координаты O(a; b), а радиус равен R. Точка M(x; y) лежит на окружности тогда и только тогда, когда расстояние от неё до центра равно радиусу. Расстояние выражается формулой sqrt((x-a)^2 + (y-b)^2) = R. Возведя обе части в квадрат, получаем уравнение окружности: (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2.
Частный случай
Если центр совпадает с началом координат, то a = 0 и b = 0, и уравнение упрощается до x^2 + y^2 = R^2. Такую запись удобно использовать в задачах, где расположение системы координат можно выбрать самостоятельно.
| Положение центра | Уравнение |
|---|---|
центр в точке (a; b) | (x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2 |
| центр в начале координат | x^2 + y^2 = R^2 |
Как читать уравнение
По готовому уравнению легко определить центр и радиус: из чисел, которые вычитаются в скобках, восстанавливают координаты центра, а из правой части извлекают корень и получают радиус. Чтобы проверить, лежит ли заданная точка на окружности, подставляют её координаты в левую часть: если результат равен правой части, точка принадлежит окружности; если меньше — лежит внутри, если больше — снаружи.
Взаимное расположение точки и окружности
Сравнивая значение левой части с квадратом радиуса, определяют положение точки. Это удобный приём для задач, где нужно понять, попадает ли точка в круг, не выполняя построения.
| Условие | Положение точки |
|---|---|
левая часть равна R^2 | на окружности |
левая часть меньше R^2 | внутри круга |
левая часть больше R^2 | вне круга |
Разобранный пример
Дано уравнение (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16. Найдём центр и радиус.
В скобках стоят x - 2 и y - (-3), значит центр — точка (2; -3). Справа 16 = R^2, откуда R = 4. Проверим, лежит ли на окружности точка (6; -3): (6-2)^2 + (-3+3)^2 = 16 + 0 = 16 — равно правой части, значит точка принадлежит окружности.
Частые ошибки. Знак координаты центра противоположен знаку числа в скобке: запись(y + 3)означает ординату центра, равную-3. Справа стоит квадрат радиуса, а не сам радиус: чтобы получитьR, надо извлечь корень.
Кратко о главном
- Окружность — множество точек на равном расстоянии от центра.
- Уравнение окружности с центром
(a; b)и радиусомR:(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2. - При центре в начале координат уравнение принимает вид
x^2 + y^2 = R^2. - Центр читают по скобкам, а радиус — как корень из правой части.
- Подстановкой координат точки определяют, лежит ли она на окружности, внутри или снаружи.