Свойство биссектрисы треугольника

Свойство биссектрисы треугольника

Биссектриса угла треугольника — это отрезок, который делит угол пополам и идёт от вершины до противоположной стороны. У треугольника три биссектрисы, и они пересекаются в одной точке — центре вписанной окружности. Главное свойство биссектрисы звучит так: биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум прилежащим сторонам.

Формулировка

Пусть в треугольнике биссектриса из вершины A пересекает сторону BC в точке L. Тогда BL / LC = AB / AC. Иначе говоря, ближе к точке деления оказывается тот отрезок, который примыкает к более короткой стороне. Это свойство удобно тем, что позволяет находить отрезки, не зная углов и не вычисляя длину самой биссектрисы.

Разбор примера

В треугольнике AB = 6, AC = 9, сторона BC = 10. Биссектриса из A делит BC на отрезки BL и LC. Найдём их длины, введя общий множитель.

BL / LC = AB / AC = 6 / 9 = 2 / 3
Пусть BL = 2x, LC = 3x, тогда 2x + 3x = 10
5x = 10, значит x = 2
BL = 4, LC = 6

Отрезок BL, примыкающий к более короткой стороне AB, оказался меньше — это согласуется со свойством.

Длина самой биссектрисы

Длину биссектрисы можно найти по формуле l² = AB·AC − BL·LC. В нашем примере l² = 6·9 − 4·6 = 54 − 24 = 30, значит l = √30 ≈ 5,48. Эта формула связывает длину биссектрисы с прилежащими сторонами и с отрезками, на которые она делит основание.

Чем отличается от других чевиан

Важно не путать три отрезка из вершины. Биссектриса делит угол пополам. Медиана делит противоположную сторону пополам. Высота перпендикулярна стороне. У равнобедренного треугольника, проведённые к основанию, все три совпадают, но в общем случае это разные отрезки.

Где пересекаются биссектрисы

Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которую называют инцентром. Эта точка одинаково удалена от всех трёх сторон, потому что каждая биссектриса — это геометрическое место точек, равноудалённых от сторон угла. Поэтому инцентр служит центром вписанной окружности, а расстояние от него до любой стороны равно радиусу этой окружности r. Свойство пропорционального деления стороны и положение инцентра вместе позволяют решать многие задачи о вписанных окружностях, не прибегая к тригонометрии.

Частые ошибки. Переворачивают пропорцию: к стороне AB примыкает отрезок BL, а не LC. Путают биссектрису угла с медианой и высотой. Считают, что биссектриса делит сторону пополам — это верно только для равнобедренного треугольника.

Кратко о главном

• Биссектриса делит противоположную сторону пропорционально прилежащим сторонам.
• Правило: BL / LC = AB / AC.
• К меньшей стороне примыкает меньший отрезок.
• Длина биссектрисы: l² = AB·AC − BL·LC.