Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике
📏 Геометрия · 9 класс
Высота прямоугольного треугольника
Если в прямоугольном треугольнике провести высоту из вершины прямого угла к гипотенузе, возникает целый набор красивых метрических соотношений. Все они опираются на подобие треугольников и часто проверяются на основном государственном экзамене. Эти соотношения связывают высоту, проекции катетов и саму гипотенузу.
Подобие при проведении высоты
Высота, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, делит прямоугольный треугольник на два треугольника, каждый из которых подобен исходному и подобен другому.
Пусть в треугольнике ABC прямой угол находится при вершине C, а высота CH опущена на гипотенузу AB и делит её на два отрезка — проекции катетов AH и HB. Из подобия получившихся треугольников вытекают все дальнейшие формулы. Эти треугольники подобны, потому что у них есть общий острый угол и прямой угол.
Среднее геометрическое
Из подобия следуют три ключевых равенства, в которых элементы выражаются через среднее геометрическое. Средним геометрическим двух чисел называют квадратный корень из их произведения.
| Величина | Формула |
|---|---|
Высота CH | CH² = AH·HB |
Катет CA | CA² = AH·AB |
Катет CB | CB² = HB·AB |
Словами это звучит так: высота есть среднее геометрическое проекций катетов на гипотенузу, а каждый катет есть среднее геометрическое его проекции и всей гипотенузы.
Разбор примера
Проекции катетов на гипотенузу равны AH = 4 и HB = 9. Найдём высоту и оба катета. Сначала высота: CH² = AH·HB = 4·9 = 36, значит CH = 6. Длина гипотенузы равна сумме проекций: AB = 4 + 9 = 13.
Теперь катеты: CA² = AH·AB = 4·13 = 52, откуда CA = 2√13; и CB² = HB·AB = 9·13 = 117, откуда CB = 3√13. Проверить можно по теореме Пифагора: сумма квадратов катетов равна 52 + 117 = 169 = 13².
Частые ошибки. Для высоты перемножают именно две проекции катетов, а для катета — его проекцию и всю гипотенузу целиком. Эти две формулы легко перепутать. Также важно помнить, что соотношения справедливы только для прямоугольного треугольника.
Связь с другими темами
Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике тесно связаны с теоремой Пифагора и с понятием подобия. Из них, в частности, выводится формула, выражающая высоту через катеты и гипотенузу: произведение катетов равно произведению гипотенузы на высоту, опущенную на неё. Это удобный способ найти высоту, не вычисляя проекций по отдельности. Кроме того, понятие среднего геометрического, возникающее здесь, встречается далее при изучении пропорций и прогрессий. Умение применять эти соотношения помогает решать задачи на нахождение элементов треугольника, вписанного в окружность, и задачи с прямоугольными трапециями.
Кратко о главном
- Высота из прямого угла делит треугольник на два подобных.
CH² = AH·HB— высота есть среднее геометрическое проекций.- Для катета:
катет² = проекция · гипотенуза. - Все соотношения следуют из подобия треугольников.