Гомотетия и центральное подобие
📏 Геометрия · 9 класс
Что такое гомотетия
Гомотетия — это преобразование подобия, при котором каждой точке M ставится в соответствие точка M', лежащая на прямой OM, причём OM' = k * OM. Точка O называется центром гомотетии, а число k — её коэффициентом. Гомотетию называют ещё центральным подобием, потому что она увеличивает или уменьшает фигуру, оставляя её форму неизменной.
В отличие от движений, гомотетия (при коэффициенте, отличном от единицы по модулю) меняет размеры фигуры. Именно поэтому она и порождает подобные, но не равные фигуры.
Коэффициент гомотетии
Поведение фигуры целиком определяется значением коэффициента k. Удобно разобрать основные случаи в таблице.
| Значение k | Что происходит с фигурой |
|---|---|
| k > 1 | увеличение; образ по ту же сторону от центра |
| 0 < k < 1 | уменьшение; образ ближе к центру |
| k = 1 | фигура остаётся на месте |
| k < 0 | образ переходит на другую сторону от центра |
При отрицательном коэффициенте точка-образ оказывается на продолжении прямой OM за центром, поэтому фигура не только меняет размер, но и «переворачивается» относительно центра, подобно центральной симметрии. Случай k = 1 оставляет каждую точку на месте, а случай k = -1 превращает гомотетию в обычную центральную симметрию относительно центра O.
Особо отметим, что центр гомотетии O всегда переходит сам в себя: это единственная неподвижная точка преобразования (при любом коэффициенте, отличном от единицы). Через центр проходят все прямые, соединяющие точки фигуры с их образами, поэтому центр удобно искать как точку пересечения таких прямых.
Свойства
Гомотетия обладает рядом важных свойств, которые делают её удобным инструментом в задачах на подобие.
- Гомотетия переводит прямую в параллельную ей прямую (или в ту же прямую, если она проходит через центр).
- Отрезок переходит в отрезок, длина которого в
|k|раз больше или меньше исходной. - Углы сохраняются, поэтому фигура и её образ всегда подобны.
- Площади относятся как
k^2: при коэффициенте 2 площадь увеличивается в 4 раза.
Разобранный пример
Пусть центр гомотетии — начало координат O, а коэффициент k = 2. Найдём образ точки A(3; 1).
Координаты точки умножаются на коэффициент: A'(2 * 3; 2 * 1) = A'(6; 2). Отрезок OA' вдвое длиннее отрезка OA, а направление сохраняется.Если бы коэффициент был равен -2, образ оказался бы в точке (-6; -2) — по другую сторону от центра. А площадь любой фигуры при таком преобразовании изменилась бы в (-2)^2 = 4 раза.
Частые ошибки. При отрицательном коэффициенте образ располагается по другую сторону от центра — это часто упускают из виду. Не путайте гомотетию с движением: гомотетия меняет размеры (кроме случая|k| = 1), тогда как движение их сохраняет. Площади меняются вk^2раз, а не в k раз.
Кратко о главном
- Гомотетия — преобразование подобия с центром O и коэффициентом k.
- Расстояния от центра умножаются на k.
- Фигура и её образ подобны, а их площади относятся как
k^2. - Прямая переходит в параллельную ей прямую.