Площадь четырёхугольника по диагоналям
📏 Геометрия · 9 класс
Площадь четырёхугольника по диагоналям
Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти, зная только его диагонали и угол между ними. Если диагонали равны d_1 и d_2, а угол между ними равен α, то S = (1/2)·d_1·d_2·sin α. Эта формула работает для любого выпуклого четырёхугольника и особенно полезна, когда высоту найти трудно, а диагонали известны.
Откуда берётся формула
Диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются внутри него и разбивают его на четыре треугольника. Сложив площади этих четырёх треугольников и применив к каждому формулу S = (1/2)·x·y·sin α, после вынесения общих множителей получают итоговое выражение через произведение диагоналей. Угол α здесь — это угол между диагоналями в точке их пересечения, а не угол при вершине четырёхугольника.
| Фигура | Особенность диагоналей | Площадь |
|---|---|---|
| Произвольный | угол α | (1/2)·d_1·d_2·sin α |
| Ромб | перпендикулярны | (1/2)·d_1·d_2 |
| Квадрат | равны и перпендикулярны | (1/2)·d² |
| Прямоугольник | равны, но не перпендикулярны | (1/2)·d²·sin α |
Разбор примера
Диагонали четырёхугольника равны d_1 = 10 и d_2 = 8, угол между ними α = 30°. Найдём площадь, подставив значения и вспомнив, что sin 30° = 0,5.
S = (1/2)·10·8·sin 30°S = (1/2)·80·0,5S = 40·0,5 = 20
Площадь равна 20 квадратным единицам.
Важный частный случай
Если диагонали перпендикулярны (как у ромба или дельтоида), то sin α = sin 90° = 1, и формула упрощается до S = (1/2)·d_1·d_2. Именно так удобно вычислять площадь ромба, у которого диагонали всегда перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.
Когда формула неприменима
Формула через диагонали верна только для выпуклого четырёхугольника, у которого диагонали пересекаются внутри фигуры. У невыпуклого четырёхугольника одна из диагоналей лежит снаружи, и разбиение на четыре треугольника уже не работает — площадь приходится искать другими способами, например разбиением на два треугольника по одной диагонали. Поэтому, прежде чем применять формулу, полезно убедиться, что четырёхугольник выпуклый. Ещё одно наблюдение: если в формуле увеличивать угол от 0° до 90°, площадь растёт, а при дальнейшем увеличении до 180° снова убывает, поскольку sin α симметричен относительно 90°.
Частые ошибки. Берут синус не того угла: нужен угол между диагоналями, а не угол четырёхугольника при вершине. Забывают множитель 1/2. Применяют формулу к невыпуклому четырёхугольнику, где диагонали не пересекаются внутри фигуры.Кратко о главном
- Площадь выпуклого четырёхугольника:
S = (1/2)·d_1·d_2·sin α. α— угол между диагоналями.- Для перпендикулярных диагоналей:
S = (1/2)·d_1·d_2. - Так удобно находить площадь ромба и квадрата.