Средняя линия треугольника и трапеции
📏 Геометрия · 9 класс
Что называют средней линией
Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины её боковых сторон. Несмотря на похожие названия, свойства этих отрезков различаются, и их важно не путать. Обе средние линии часто встречаются в задачах на вычисление длин и доказательство параллельности.
Средняя линия треугольника
Пусть M и N — середины сторон AB и BC треугольника, а AC — третья сторона. Тогда верно следующее свойство.
Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна её половине: MN = 0,5 * AC.У каждого треугольника три средние линии. Все вместе они разбивают треугольник на четыре равных между собой треугольника, каждый из которых подобен исходному с коэффициентом 0,5. Это свойство удобно использовать при доказательствах и при вычислении площадей. Например, треугольник, образованный тремя средними линиями (его называют срединным), имеет площадь, равную четверти площади исходного треугольника.
Доказательство свойства опирается на подобие. Треугольник, отсекаемый средней линией от вершины, подобен исходному с коэффициентом 0,5 по двум пропорциональным сторонам и общему углу. Отсюда и следует, что средняя линия вдвое короче третьей стороны и параллельна ей.
Средняя линия трапеции
В трапеции основания — это параллельные стороны, а боковые стороны их соединяют. Средняя линия трапеции связана именно с основаниями.
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме: m = (a + b) / 2, где a и b — длины оснований.Отсюда следует полезный приём: зная среднюю линию и одно основание, можно найти второе, ведь сумма оснований равна удвоенной средней линии.
Разобранный пример
Пусть в трапеции основания равны 6 и 10. Найдём её среднюю линию.
m = (6 + 10) / 2 = 16 / 2 = 8Теперь рассмотрим треугольник, в котором третья сторона AC = 12. Отрезок, соединяющий середины двух других сторон, — средняя линия — равен 0,5 * 12 = 6. А если, наоборот, известно, что средняя линия треугольника равна 7, то противолежащая ей сторона равна 14.
| Фигура | Чему параллельна | Длина |
|---|---|---|
| Треугольник | третьей стороне | половина этой стороны |
| Трапеция | основаниям | полусумма оснований |
Свойства средней линии помогают переходить от половинных отрезков к полным сторонам и обратно, поэтому их часто применяют в задачах, где напрямую измерить нужную длину нельзя.
Частые ошибки. Не путайте формулы: в треугольнике средняя линия равна половине стороны, а в трапеции — полусумме двух оснований. Средняя линия трапеции соединяет середины боковых сторон, а не оснований. Параллельность тоже разная: в треугольнике — третьей стороне, в трапеции — основаниям.
Кратко о главном
- Средняя линия треугольника соединяет середины двух его сторон.
- Она параллельна третьей стороне и равна её половине.
- Средняя линия трапеции соединяет середины боковых сторон.
- Она параллельна основаниям и равна их полусумме.