Угол между векторами

Понятие угла между векторами

Угол между двумя ненулевыми векторами — это угол между лучами, сонаправленными с этими векторами и отложенными из одной точки. По определению этот угол лежит в пределах от 0° до 180° включительно.

Крайние и средний случаи легко описать словами: если векторы сонаправлены, угол равен 0°; если направлены противоположно — 180°; если перпендикулярны — 90°. Для нулевого вектора понятие угла не определяется, потому что у него нет направления.

Скалярное произведение и угол

Угол между векторами удобнее всего находить через скалярное произведение. Если a и b — два вектора, а φ — угол между ними, то:

cos φ = (a · b) / (|a| * |b|)

В координатах вычисления становятся совсем простыми. Если a(x1; y1) и b(x2; y2), то скалярное произведение и длины находятся так:

a · b = x1 * x2 + y1 * y2
|a| = √(x1^2 + y1^2), |b| = √(x2^2 + y2^2)

Подставив эти выражения в формулу для косинуса, получаем косинус угла, а по нему — и сам угол.

Разобранный пример

Найдём угол между векторами a(3; 0) и b(1; 1).

a · b = 3 * 1 + 0 * 1 = 3
|a| = 3, |b| = √2
cos φ = 3 / (3 * √2) = 1 / √2, значит φ = 45°.

Результат логичен: вектор a направлен вдоль оси абсцисс, а вектор b образует с ней угол 45°, потому что его координаты равны.

Условие перпендикулярности

Из формулы для косинуса видно: знак скалярного произведения сразу показывает, каким будет угол. Ведь длины векторов всегда положительны, поэтому знак косинуса совпадает со знаком произведения.

Особенно полезно условие перпендикулярности: чтобы проверить, перпендикулярны ли векторы, достаточно вычислить их скалярное произведение и убедиться, что оно равно нулю. Никаких построений и измерений углов при этом не требуется. Это условие постоянно применяется в задачах, где нужно доказать, что две прямые или два отрезка взаимно перпендикулярны: их достаточно задать векторами и проверить произведение.

Важно помнить, что сам угол между векторами не зависит от того, из какой точки они отложены: значение имеют только их направления. Поэтому при вычислениях вектор можно свободно переносить параллельно самому себе, и это не изменит ни его длины, ни угла с другим вектором. Такое свойство делает скалярное произведение по-настоящему удобным инструментом во всём векторном методе.

Частые ошибки. Скалярное произведение — это число, а не вектор. Если в знаменателе формулы получился ноль, значит один из векторов нулевой и угол попросту не определён. Помните, что косинус тупого угла отрицателен, поэтому отрицательное произведение указывает на тупой угол.

Кратко о главном

• Угол между векторами берётся в пределах от 0° до 180°.
• Косинус угла равен скалярному произведению, делённому на произведение длин.
• Если скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны.
• Знак скалярного произведения показывает, острый угол или тупой.