Умножение вектора на число

Умножение вектора на число

Кроме сложения и вычитания, над векторами выполняют умножение на число, которое также называют скаляром. Эта операция меняет длину вектора, а в некоторых случаях и его направление, но результат всегда остаётся вектором. Умножение на число — основа разложения векторов и проверки коллинеарности.

Определение операции

Произведением вектора a на число k называется вектор, длина которого равна |k|·|a|; он сонаправлен с вектором a при k > 0 и направлен противоположно при k < 0.

Если число k = 0, то получается нулевой вектор. При |k| > 1 вектор удлиняется, а при 0 < |k| < 1 — укорачивается. Таким образом, число k работает как масштабный коэффициент, растягивая или сжимая вектор, а его знак определяет, сохранится направление или сменится на обратное.

Условие коллинеарности

Два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда один из них равен другому, умноженному на некоторое число: b = k·a.

Это важнейший признак, по которому проверяют, лежат ли точки на одной прямой или параллельны ли отрезки. В координатах он означает пропорциональность соответствующих компонент векторов.

Разбор примера

Пусть дан вектор a(2; −3) и число k = −2. Найдём произведение и сравним длины. Умножение на число в координатах выполняется покомпонентно.

Произведение: k·a = (−2·2; −2·(−3)) = (−4; 6). Длина исходного вектора |a| = √(4 + 9) = √13, а длина произведения |k·a| = √(16 + 36) = √52 = 2√13. Видно, что длина увеличилась ровно в 2 раза, а направление сменилось на противоположное — именно так и требует определение.

Частые ошибки. При отрицательном k длина берётся по модулю числа, отрицательной длины не существует. Знак k влияет только на направление вектора. Также при проверке коллинеарности нельзя забывать, что коэффициент k должен быть одним и тем же для обеих координат.

Свойства и применение

Умножение вектора на число обладает распределительными свойствами: k·(a + b) = k·a + k·b и (k + m)·a = k·a + m·a. Это позволяет раскрывать скобки в векторных выражениях так же, как в обычной алгебре. Главное применение операции — разложение вектора по двум неколлинеарным векторам, где каждый из них берётся с некоторым числовым коэффициентом. На условии коллинеарности b = k·a основаны доказательства того, что три точки лежат на одной прямой: достаточно показать, что векторы, соединяющие их, коллинеарны. Так умножение на число становится связующим звеном между векторной алгеброй и геометрией прямых.

Кратко о главном

• При умножении на k длина вектора становится |k|·|a|.
• Знак числа k задаёт направление результата.
• Условие коллинеарности векторов: b = k·a.
• В координатах каждая компонента умножается на k.