Площадь правильного многоугольника через радиусы

Площадь правильного многоугольника

Правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны. В него всегда можно вписать окружность и около него описать окружность, причём у обеих один общий центр — центр самого многоугольника. Радиус описанной окружности обозначают R, радиус вписанной — r; вписанный радиус называют апофемой и проводят из центра перпендикулярно стороне.

Основные формулы

Если у многоугольника n сторон и периметр P, то его площадь равна половине произведения периметра на апофему: S = (1/2)·P·r. Это вытекает из разбиения многоугольника на n равных треугольников с вершиной в центре: у каждого основание — сторона, а высота — апофема. Сложив площади всех треугольников, получают эту формулу.

Разбор примера

Найдём площадь правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса R = 4. Для шестиугольника n = 6, а его сторона равна радиусу описанной окружности: a = R = 4. Воспользуемся формулой площади через R.

S = (1/2)·6·4²·sin(360°/6)
S = (1/2)·6·16·sin 60°
S = 48·(√3 / 2) = 24·√3

Площадь равна 24·√3 ≈ 41,57 квадратной единицы. Тот же ответ можно получить, разбив шестиугольник на шесть равносторонних треугольников со стороной 4.

Частные случаи

Для квадрата n = 4, для правильного треугольника n = 3, для шестиугольника n = 6. У шестиугольника сторона равна R, что делает вычисления особенно простыми. Угол правильного многоугольника при вершине равен (n − 2)·180° / n: у треугольника он 60°, у квадрата 90°, у шестиугольника 120°.

Связь между двумя радиусами

Радиусы вписанной и описанной окружностей связаны через число сторон. Зная один из них, всегда можно найти другой по формуле r = R·cos(180°/n). Например, у правильного треугольника апофема вдвое меньше радиуса описанной окружности, потому что cos 60° = 0,5. Эта связь помогает переходить от одной окружности к другой, не вычисляя сторону. Кроме того, центр обеих окружностей совпадает с точкой пересечения всех осей симметрии многоугольника, а у правильного n-угольника таких осей ровно n.

Частые ошибки. Путают R и r: апофема r всегда меньше радиуса описанной окружности R. Подставляют в синус неверный угол: для площади через R нужен 360°/n, а для стороны и апофемы — 180°/n. Берут периметр одной стороны вместо всего периметра P = n·a.

Кратко о главном

• У правильного многоугольника вписанная и описанная окружности имеют общий центр.
• Апофема r — это радиус вписанной окружности.
• Площадь: S = (1/2)·P·r или S = (1/2)·n·R²·sin(360°/n).
• У шестиугольника сторона равна радиусу R.